专题2-4 幂函数与二次函数8大考点-【考点全归纳】2024年高考数学一轮复习核心考点与重难点突破（新高考通用）

专题2-4 幂函数与二次函数8大考点 知识点一 幂函数的图象与概念 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 3、幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 知识点二 幂函数的性质 1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； 3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； 4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点三 二次函数的图象与性质 1、二次函数解析式的3种形式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． （3）零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 2、二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 一、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数） 1、当时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象； 2、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象； 3、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象。 再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。 二、二次函数在闭区间上的最值 二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论， 一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 将配方，得顶点为，对称轴为 （1）当时， 的最小值为， 的最大值为与中的较大值； （2）时， 若，由在上是增函数，则的最小值为，最大值为； 若，由在上是减函数，则的最小值为，最大值为； 三、二次函数在闭区间上的最值类型 1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）； 2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解； 3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论； 4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。 考点一 幂函数的定义 【例1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数为幂函数，则实数的可能性取值为（ ） A．1 B．-2 C．3 D．-4 【变式1-1】（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______． 【变式1-2】（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【变式1-3】（2023·上海黄浦·统考二模）若函数的图像经过点与，则m的值为______． 【变式1-4】（2022·四川泸州·统考一模）已知幂函数的图象过点，且，则a的值为__． 考点二 幂函数的图象 【例2】（2023·全国·高三专题练习）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）下列关于幂函数的命题中正确的有（ ） A．幂函数图象都通过点 B．当幂指数时，幂函数的图象都