第十二章 全等三角形 重点提升练三 角平分线模型（一）定义、性质、判定运用-【课课帮】2023-2024学年八年级上册初二数学同步作业配套课件ppt

1 2 第十二章 全等三角形 重点提升练三 角平分线模型（一）定义、性质、判定运用 3 练点一 利用角平分线截长构全等 特训秘籍 由角平分线可得到全等的三个条件中的两个（角等和公共边等），所以此时若在角的两边截取两条相等的线段，就可利用“ ”证明两个三角形全等，再由全等三角形的性质解题. （典例图） 【典例剖析】 如图， ， 平分 ， 平分 ，点 在 上. 求证： . （典例图） 证明：如图，在 上截取 ，连接 . 平分 ， . 在 和 中， . 1 2 3 1 2 3 5 ， . ， . ， . . 平分 ， . 在 和 中， . . 1 2 3 1 2 3 【典例剖析】 在 上取点 ，使 ，连接 ，利用全等三角形的性质证明 即可解决问题. 1 2 3 1 2 3 7 （1题图） 1.如图，在四边形 中， ， ， ，若 ， 分别在 ， 的延长线上， 且 .求证： . （1题图） 证明：如图，在 上截取 ，连接 . 在 和 中， . 【针对训练】 1 2 3 1 2 3 8 ， . ， ， . ， . ， . . 1 2 3 1 2 3 在 和 中， . . 1 2 3 1 2 3 （2题图） 2.如图，在 中， ， ， 分别平分 ， ， ， 相交于点 . 求证： . （2题图） 证明：如图，在 上截取 ，连接 . 平分 ， . 在 和 中， 1 2 3 1 2 3 11 . . 平分 ， . ， . . 在 和 中， . . 1 2 3 1 2 3 （3题图） 3.如图，在等腰 中， ， ，点 ， 分别在 的延长线和 的延长线上， ， 为 延长线上的一点，且 .求证： . （3题图） 证明：如图，在 上截取 ，连接 . 在 和 中， . 1 2 3 1 2 3 13 ， . 是等腰直角三角形， . . . ， . 在 和 中， . . 1 2 3 1 2 3 练点二 利用角平分线作垂构全等 特训秘籍 由角平分线的性质及判定可作角两边的垂线，从而构造“ ”或“ ”全等，再由 全等三角形的性质解题. （典例图） 【典例剖析】 如图，在四边形 中， 于点 ， ， . 1 2 3 1 2 3 15 （1）求证： ; （典例图） 证明：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 . ， ， ， . ， ， . 在 和 中， . 1 2 3 1 2 3 16 （2）求证： . [答案] 由（1），知 ， . 在 和 中， . . 1 2 3 1 2 3 17 【典例剖析】 根据 与 相等，而且 作为公共边，过点 作 的垂线 ，就可以构造全等三角形，再根据全等三角形的性质，得到相等的线段 和 ，再结合两个直角三角形全等，即可解决问题. 1 2 3 1 2 3 18 【针对训练】 （1题图） 1./2022大连市金普新区月考/如图， ， 是 的中点， 平分 . 1 2 3 1 2 3 19 （1）求证： 是 的平分线； （1题图） 证明：如图，过点 作 于点 . ， 平分 ， ， . 是 的中点， . . ， ， 是 的平分线. 1 2 3 1 2 3 20 （2）求证： . [答案] ， 在 和 中， . . 同理可得， . ， . 1 2 3 1 2 3 21 （2题图） 2.已知在等腰 中， ， ， 为 的一个外角 的平分线上一点，且 ， 交 于点 . （1）求证： ； 1 2 3 1 2 3 22 （2题图） 解：证明：如图，过点 作 ， ,垂足分别为 ， . 平分 ， . 是等腰直角三角形， . ， . . 在 和 中， . 1 2 3 1 2 3 （2）求 的长. [答案] ， , . , . . 1 2 3 1 2 3 24 （3题图） 3.如图， 平分 ， 于点 ， 于点 ，在 上有一点 ，且 . （1）若 ， ，求 的长； （3题图） 解：如图，以点 为圆心， 为半径画弧分别交