1.3.1空间直角坐标系（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3空间向量及其运算的坐标表示 一、教学内容 本节包括空间直角坐标系，空间向量运算的坐标表示，向量平行和向量垂直时坐标之间的关系，向量长度公式的坐标表示、两向量夹角公式的坐标表示，以及空间两点间的距离公式等内容.在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系，从而把平面向量的运算转化为数的运算.类似地，通过建立空间直角坐标系，以与x轴、y轴、z轴方向相同的三个单位向量i,j,k为基底，可以把空间向量的运算转化为数的运算. 学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算．所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础． 本课时从内容上看是空间向量基本定理的延伸，也是为后面用坐标研究空间问题奠基，从维度角度上看是平面直角坐标系的推广。 二、教学目标 1.了解空间直角坐标系的有关概念理解空间向量的坐标表示，培养直观想象的核心素养； 2.会根据坐标找相应的点和向量，学写一些简单几何体的有关坐标，发展数学运算和逻辑推理等素养; 3.掌握空间向量及其运算的坐标表示，提升数学运算的核心素养. 三、教学重点与难点 重点：空间直角坐标系的建立和空间向量运算的坐标表示. 难点：空间向量运算的坐标表示及其应用. 空间向量运算的坐标表示同平面向量运算的坐标表示类似.教学时可以类比平面向量运算的坐标表示进行推广，但怎样推广是学生的困难所在，因此，这是本节教学的难点.此外，利用空间向量运算的坐标表示解决一些立体几何问题也是教学中的一个难点. 四、教学过程设计 1.3.1 空间直角坐标系 环节一：创设情境，引入课题 引导语：“为了把空间向量的运算转化为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢?” 教师提出以下问题，学生进行思考，讨论交流： 问题1：在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因数有哪些？数轴上的点怎么表示？ 问题2：在初中，我们学过直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系的因素有哪些？决定平面直角坐标系有哪些？平面直角坐标系中的点怎样表示？ 我们知道，平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成．利用单位正交基底概念，我们还可以这样理解平面直角坐标系：如图1.3-1，在平面内选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：轴、轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系． 环节二：观察分析，感知概念 知识点1 空间直角坐标系 问题3：空间直角坐标系该如何建立？ 类似地，在空间选定一点和一个单位正交基底（图1.3-2）．以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系时，一般使（或），． 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系． 环节三：抽象概括，形成概念 问题4：在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中任意一点都可以用对应的有序实数组表示出来呢？ 探究 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？ 在空间直角坐标系中（图1.3-3）， ，，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使 ． 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 环节四：辨析理解，深化概念 在空间直角坐标系中，给定向量，作（图1.3-4）．由空间向量基本定理，存在唯一的有序数组，使． 有序数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作． 这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示． 符号具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分． 问题5：建立空间直角坐标系后，空间中任意一点A如何用坐标表示呢？ 探究 在空间直角坐标系中，对空间任意一点，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标吗？ 事实上，如图1.3-5，过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴、轴和轴于点，，．可以证明在轴、轴和轴上的投影向量分别为，，，且．设点，和在轴、轴和轴