1.3.2 空间向量运算的坐标表示 学历案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学学历案聚焦“空间向量运算的坐标表示”，设置四个学习任务，涵盖坐标运算法则、平行垂直条件及模与夹角公式、向量坐标与两点间距离公式的推导与应用，搭建从基础到综合的学习支架。 以自主学习引导学生类比平面向量构建空间向量坐标运算体系，师生研学通过问题驱动深化理解，任务设计注重数学抽象与数学运算素养培养，学生在自主探究与教师指导中提升解决空间几何问题的能力。

枣庄三中新城校区高二年级上学期数学学历案（第7期） 主备人：孔萍萍 审查人：王兆令 使用日期： 2024.9 1.3.2空间向量运算的坐标表示 ⊙自主学习【学】 【学习目标】 1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示.（数学抽象） 2.掌握空间向量运算的坐标表示.（数学运算） 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.（数学运算） 4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题.（数学运算） 【自学评价】阅读课本P19~P21,阅读完课本后尝试回答下列问题： 1.空间向量基本定理 2.空间直角坐标系 3.空间向量运算的坐标表示 零师生研学【研】 思考：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐 标表示并给出证明吗？ +:竖坐标 纵坐标 x损坐标 学习任务一空间向量运算的坐标表示 设a=(1,a2,a),b=(b1,b2,b),空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a+b= 减法 a-b= 数乘 入M= 数量积 ab= 学习任务二空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a=(a1,2,a3),b=(b1,b2,b),则 1 平行(a∥b) a/∥b(b≠0)台a=b台 垂直(a⊥b) a⊥b÷ab=0片(a,b均为非零向量) 模 lal== 夹角公式 c0s(a,b〉== 学习任务三向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1,b1,c),B(a2,b2,c2),则 (1)AB= (2)dAB=AB= 学习任务四空间向量运算的坐标表示应用 例2如图示，在正方体物~BG0中，￡F分别是品，A品的中点，求证：LM D A D 例3如函示，在棱长为1的正方体AB知~ARCA中，M为G的中点，五，R分别在搜A品C0上， BE-ABDF-ICD (1)求世的长 (②)求照与函所成角的余弦值 D 2 方法提妹 空问直角坐标系 写出点坐标 向量坐标 平行 特殊位置关系 垂ǐ 向量运算 长度 几何度量问题 角度 《训练提升【练】 1.在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点B1,-3,I)的距高相等 3 2.如图，正方体OABC-DA'B'C的棱长为a,点N,M分别在AC,BC上，AN=2CN,BM=2MC,求MN 的长 D 3.如图在正方体ABCD-A1B1CD1中，M是AB的中点，求DB1与CM所成角的余弦值 4.若(-1,2-2)b(2,-1,1),a与b的夹角为1209则2的值为 5.如图，在正三校柱ABCA1B1C1中，若AB=√2BB,则AB1与BC所成角的大小为人 (A)60 (B)90°(C105°(D)75° 6.如图示，正方体ABCD-ABCD的校长为1，E,F,G分别为CD,AD,DD的中点. (I)求证：EFIAC: (2)求CE与AG所成角的余弦值. 师生总结【结】 4 【课堂总结】总结与评价 【课后作业】 1.在空间直角坐标系0灯冲，三个非等向量ā，i,c分别平行于x轴、轴、轴， 它们的坐标各有什么特点？ 2.M(x,y,z)是空间直角坐标系O灯z冲的一点，写出满足下列条件的麻 的坐标： (1)与点M关于x轴对称的点；(2)与点M关于轴对称的点； (3)与点M关于轴对称的点，(4)与点M关于原点对款的点. 3.如图，正方体OABC-D'B'C的校长为a,E,F,G,H,I,J分别是战 CD',D'A,A'A,AB,BC,CC的中点，写出正大边形EFGHIJ.各顶点的 坐标。 D (第3题) 4.如图，在正方体ABCD-ABCD中，M,N分别为横AA和BB的中点， 求CM和D,N所成角的余弦值. 5.位，高，c是空间的一个单位正交基席，向量p=a+2五+3C,{在+i,a-石，C 是空间另一个基患，用基底拉+高，a-高，c表示向量P: