1.3 1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

1．3.2　空间向量运算的坐标表示　► 对应学生用书P23 学习目标　1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题，以提升数学运算能力．(重点)　2.掌握空间向量运算的坐标表示，会判断两个向量是否共线或垂直，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点)　3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点)　 平面向量坐标运算的诞生历程与向量理论及坐标系统的发展紧密相关. 其核心可以追溯到18世纪复数几何表示的探讨，以及随后向量理论的逐步建立和完善 . 问题1　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b的运算结果分别是什么？ 提示：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2. 问题2　根据平面向量运算的坐标表示，能类比出空间向量运算的坐标表示吗？ 提示：能类比出来． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P19，思考一下：在空间直 角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同吗？ 提示：不一定相同，只有当A为坐标原点时，的坐标才与终点B的坐标相同． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，则a⊥b.(　　 ) (2)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量．(　　 ) (3)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则＝＝.(　　 ) 提示：(1)√　(2)×　(3)× 　 空间向量运算的坐标表示 问题3　平面向量的加法、减法、数乘坐标运算结果是实数还是向量？平面向量的数量积坐标运算的结果呢？ 提示：向量；实数． 问题4　有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？ 提示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 与平面向量运算的坐标表示一样，我们有： a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 2.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 温馨提示 (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致． (2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． (4)空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是空间向量多了个竖坐标. 　　　　　　　　　　　　　 例1　(链接教材：人A版教材P22练习T1)若a＝(2，3，－1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，则a·(b＋c)的值为(　　 ) A．4 B．5 C．7 D．36 解析：选B.b＋c＝(2，0，3)＋(0，2，2)＝(2，2，5)，a·(b＋c)＝2×2＋3×2＋(－1)×5＝5. 类题通法 　 空间向量坐标运算的步骤 (1) 将空间向量用坐标表示出来． (2)运用空间向量坐标运算公式计算．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.直三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，M，N分别为A1C1，BC的中点，则＝(　　 ) A．2 B．－2 C． D．－ 解析：选B.如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，M，N，所以＝(2，0，0)，＝(－1，0，3)，所以＝2×(－1)＋0＋0＝－2. 　空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 问题5　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？那么对于空间向量是不是也有类似的结论？ 提示：a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 对于空间向量也有类似的结论(如下知识梳理). 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0． 温馨提示 　 (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0). (2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0. 　　　 例2　(1)已知空间向量a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，c＝(0，4，x)(x∈R). ①若a⊥c，则x＝________； ②若a，b，c共面，则x＝________． 解析：①因为a⊥c，所以a·c＝0，即0＋8＋4x＝0，解得x＝－2. ②因为a，b，c共面，所以存在一对实数m，n，使c＝ma＋nb，所以(0，4，x)＝m(－1，2，4)＋n(1，－4，2)＝(－m＋n，2m－4n，4m＋2n)，所以解得 答案：－2　－12 (2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证EF⊥DA1. 证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则E， 所以. 又A1(1，0，1)，D(0，0，0)， 所以＝(1，0，1)． 所以＝·(1，0，1)＝0. 所以⊥，即EF⊥DA1. 类题通法 　 1．利用平行与垂直求参数问题的注意事项 (1)适当引入参数，建立关于参数的方程； (2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的． 2．利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明. 　【迁移运用】 2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是CC1，A1C1，CD的中点．证明：AB1∥GE，AB1⊥EF. 证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)， 由中点坐标公式得E，G，F， 所以＝(1，0，1)，＝＝， 所以， ＝1×＋0＋1×＝0， 所以∥⊥， 故AB1∥GE，AB1⊥EF. 　 夹角和距离 问题6　你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示：如图，建立空间直角坐标系Oxyz， 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，于是. 所以P1P2＝＝ ， 类似地，我们可以得到空间向量的夹角公式． 空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2). (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)P1P2＝ ＝. 特别的，若O(0，0，0)，P(x，y，z)，则. 温馨提示 　 (1)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，cos θ＝|cos 〈，〉|. (2)求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度一　求夹角 例3　(链接教材：人A版教材P22练习T5)(多选)已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成120°角的是(　　 ) A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1) 解析：选AC．设A选项中的向量a1＝(－1，1，0)，cos 〈a，a1〉＝，则〈a，a1〉＝120°； 设B选项中的向量a2＝(1，－1，0)，cos 〈a，a2〉＝，则〈a，a2〉＝60°； 设C选项中的向量a3＝(0，－1，1)，cos 〈a，a3〉＝则〈a，a3〉＝120°； 设D选项中的向量a4＝(－1，0，1)，此时a4＝－a，两向量的夹角为180°. 名师点睛 　 求夹角时，常利用两向量的夹角公式，将向量的坐标代入求出夹角. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 3.已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为________. 解析：因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝，又因为〈a，b〉∈[0，π]， 所以向量a与b的夹角为. 答案： 角度二　求距离 例4　(链接教材：人A版教材P21例3)如图，正四棱锥S­ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，O为底面ABCD的中心． (1)求CE的长． (2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值． 解：连接SO，AC，OB，以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 因为侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点， 所以S，C，B，. (1)＝， ＝，即CE＝. (2)＝＝， 所以cos 〈〉＝， 故异面直线BE和SC所成角的余弦值为. 类题通法 　 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为(　　 ) A．a B．a C．a D．a 解析：选B.由题意，得F，A1(a，0，a)，C(0，a，0)，所以E，则＝a. 1．已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于(　　 ) A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2) C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3) 解析：选A.b＝a－(a－b)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2). 2．已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于(　　 ) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：选C.λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ>0，解得λ＝3. 3．设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥b，b∥c，则x＋y＝(　　 ) A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析：选A.因为b∥c，所以2y＝－4×1，所以y＝－2，所以b＝(1，－2，1).因为a⊥b，所以a·b＝x＋1×(－2)＋1＝0，所以x＝1，所以a＝(1，1，1)，所以x＋y＝－1. 4．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为________． 解析：∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)， ∴＝3＝＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos 〈〉＝， 又∵〈〉∈[0，π]，∴〈〉＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $