特殊值法破解选填题（一）讲义-2024届高考数学微专题

2024届高考微专题——特殊值法破解选填题（一） 2023届新高考，运算量大，如何快速求解是我们必须攻克的一个问题，在选填题中对题目中的量进行赋值，是一个有效的运算方式。笔者以圆锥曲线为例，对特殊值的运用进行简要讲评，希望能起到一个抛砖引玉的作用。 例.（2023新高考一卷16题） 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】 【特值求解】设，则，，故， 因为，所以 由双曲线的定义得 在中， 在中， 因为，所以 故. 【常规解】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二:依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 三种方法均充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，但是会发现，特殊值法有效的避免了大量的字母运算，从而提升了运算效率。 变式训练 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线上有一点，满足是以为顶角的等腰三角形，其中，则椭圆的离心率为 解：由题意得，因为，所以 不妨设，则， 设过点且斜率为的直线为，与轴的交点为 故 又 所以 则，因此 练习 1.已知双曲线的左、右焦点分别为．为坐标原点，点在双曲线的一条渐近线上，且，若，则双曲线的渐近线方程为 解：由，不妨设，则 因为，所以 在中， 在中， 则 故 所以 综上，渐近线方程为 2.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，由椭圆定义知：； ，，即，， 椭圆的离心率. 故选：C. 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为， 因此直线的倾斜角的正切值为，即，所以有， 设，由双曲线定义可知：， 由余弦定理可知：，又 故，综上 故选：B 4.已知，为双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，半径长为的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，点为切点，则，过点作，垂足为点，则， 因为，，不妨设，则， 因为点是线段的中点，所以点是线段的中点，则，， 因为，则，则，， 因为， 解得： 即双曲线的离心率为. 故选：C 总结：由以上题目可以发现特值法常用在比例问题上，选取特值时应以避开分式及根式运算为主。 学科网（北京）股份有限公司 $