专题1.25 用勾股定理求最值常用方法专题（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.25 用勾股定理求最值常用方法专题（知识梳理与考点分类讲解） 特别说明：本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习。 【方法一】利用几何性质解决问题 【知识点1】点和线之间，垂线段最短 【知识点2】两点之间，线段最短（将军饮马问题） 【知识点3】利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题 运用画圆解决问题有两种类型： 类型（1）：动点到某一定点的距离是定值（圆上的点到圆心的距离恒等于半径）， 类型 (2)：动点为90°固定角的顶点（直径所对的圆周角恒定为90°） 【方法二】利用代数方法解决问题 【知识点1】利用配方法求三次二项式的最值 【知识点2】运用二次函数中顶点求最值（以后学习） 代数方法较为常见，所以我们本专题不涉及.接下来，我们来简单看一下每个几何知识点对应的问题 【考点一】勾股定理➼➻垂线段最短求最值 【例1】中，，，，，为的中点，直线经过点，过作于，过作于．则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可． 解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H， 在Rt△AHB中， ∵∠ABC=60°，AB=2， ∴BH=1，AH=， ∵点D为BC中点， ∴BD=CD， 在△BFD与△CKD中， ， ∴△BFD≌△CKD（AAS）， ∴BF=CK， 延长AE，过点C作CN⊥AE于点N， 可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN， 在Rt△ACN中，AN＜AC， 当直线l⊥AC时，最大值为， 综上所述，AE+BF的最大值为， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及勾股定理，垂线段最短，构建全等三角形是解答此题的关键． 【举一反三】 【变式1】如图，中，，，，点P是边上一动点，则线段长度的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据勾股定理得出，当时，的值最小，利用面积法求解即可． 解：在中，，，， ∴， ∵当时，的值最小， 此时：的面积为：， ∴， ∴， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高． 【变式2】如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP＋BP＋CP的最小值是（） A．14 B．14.8 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据勾股定理可求出AC，由题意可知当BP取最小值时，AP＋BP＋CP的值最小，而当BP⊥AC时，BP取最小值，故利用面积法求出BP的最小值即可. 解：∵在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8， ∴BC＝8， ∴AC＝， ∴AP＋CP＝AC＝10， ∴当BP取最小值时，AP＋BP＋CP的值最小， 而当BP⊥AC时，BP取最小值， 故此时S△ABC＝， ∴，即BP的最小值为4.8， ∴AP＋BP＋CP的最小值是10+4.8＝14.8， 故选B. 【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，分析得出当BP⊥AC时BP取最小值是解题的关键. 【考点二】勾股定理➼➻两点之间线段最短求最值➼➻将军饮马问题 【例2】已知如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长． 解：根据题意，连接BD、BM，则BM就是所求DN+MN的最小值， 在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6 根据勾股定理得：BM＝＝10， 即DN+MN的最小值是10； 故选B． 【点拨】此题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理． 【举一反三】 【变式1】如如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是______． 【答案】10 【分析】作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，因此，所以最小值为，用勾股定理算出即可． 解：如图，作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N， ∵∠B＝∠D＝90°，点A和点A1关于BC对称，点E和点E1关于DC对称， ∴，， ∴， ∴AM＋MN＋EN的最小值是， ∵AD＝AB＝4，E是AD中点， ∴，， ∴，， ∵∠BAD＝90°， ∴， 故答案为：10． 【点拨】