专题1.22 勾股定理中的分类讨论思想（分层练习）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.22 勾股定理中的分类讨论思想（分层练习）（提升练） 特别说明：本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习。 一、单选题 1．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方是（    ） A．169 B．169或119 C．13或15 D．15 2．中，，，高，则的长为（　　　） A．4 B．14 C．5 或 9 D．4 或 14 3．已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（    ） A．10 B． C．10或 D．10或24 二、填空题 4．若在中，，，高，则的长为 _____； 5．已知中，，，，将它的一条直角边沿一锐角角平分线所在直线翻折，使直角顶点落在斜边上，则折叠后不重合部分三角形的面积为______． 6．已知一个直角三角形的三边长分别为a，b，c．若，，则这个直角三角形的面积为______． 7．在梯形中，，，，，，则的长为______． 8．若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为_____． 9．如图，在中，，，点，分别在，，上，，连接．已知，将绕点逆时针旋转一周，当，三点共线时，旋转角的度数为_________．      10．在中，为边上的高，，的面积为12，边的长为_______． 三、解答题 11．在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)若是直角三角形，求x的值． 12．在中，，，边上的高，求另一边的长． 13．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ①当点P在线段上时，________． ②当点P在线段的延长线上时，________． (2) 当为直角三角形时，求t的值； 14．在中，已知，求代数式的值. 15．中，，，上的高为12，求的长． 16．小土家有一块三角形的菜地，量得两边长分别为41m，15m，第三边上的高为9m，请你帮小土计算这块菜地的面积. 17．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长． 18．三角形的周长为38，第一条边长为a，第二条边比第一条边的2倍多3． （1）表示第三条边； （2）若三角形为等腰三角形，求a的值； （3）若a为正整数，此三角形是否为直角三角形？说明理由． 19．如图，在△ABC中，，以为一边作正方形，过点D作交延长线于点F，连接，求的长． 20．如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 参考答案 1．B 【分析】分边长为12的边为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求解即可． 解：当边长为12的边为直角边时，则第三边的长的平方为； 当边长为12的边为斜边时，则第三边的长的平方为； 综上所述，第三边长的平方是169或119， 故选B． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么． 2．D 【分析】分两种情况讨论：点D在线段上和点D在线段的延长线上，根据勾股定理求得，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，． 解：如图1，当点D在线段上时， 锐角中，，，． 在中，， 由勾股定理得：，则． 在中，， 由勾股定理得：，则， 故的长为； 如图2，当点D在线段的延长线上时， 钝角中，，，边上高． 在中，， 由勾股定理得：，则． 在中，， 由勾股定理得：，则， 故的长为． 综上可得BC的长为4或14． 故选：D． 【点拨】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不要漏解，难度一般． 3．C 【分析】分8为斜边，6为直角边和8和6都为直角边两种情况，结合勾股定理解答即可. 解：若8为斜边，6为直角边，则第三边为； 若8和6都为直角边，则斜边为； 故选：C. 【点拨】本题考查了勾股定理，属于常见题型，熟练掌握勾股定理、正确分类是关键. 4．或 【分析】根据高的定义可得，进而根据勾股定理分别求得，分类讨论即可求解． 解：如图，    为边上的高， ， 在中，， 在中，， 当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，， 的长为或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了三角形高的定义，勾股定理，分类讨论解题的关键． 5．或6 【分析】首先利用勾股定理求出的斜边的长，然后根据题意，分两种情况画出图形，利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 解：在中，，，， ∴， 可分两种情况： 第一