课时梯级训练(13) 基本不等式的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(13)　基本不等式的应用 1．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(参考数据：≈1.414)(　　) A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m C　解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)(当且仅当a＝b时，取等号). 因为要求够用且浪费最少，故选C. 2．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　) A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处 A　解析：设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立． 3．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是(　　) A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 B　解析：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价为＝≥；第二种方案的均价为＝≤.当且仅当m＝n时，等号成立．≥，所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算． 4．气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天开始连续使用，第n天的维修保养费为(4n＋46)(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天的耗资最少)为止，则一共使用了(　　) A．300天 B．400天 C．600天 D．800天 B　解析：设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为＝＋2n＋48，当且仅当＝2n时，取得最小值，此时n＝400. 5．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________． 答案：32　解析：由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋≥2＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32. 6．已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)·(x3＋y3)≥8x3y3. 证明：∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0， x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立． 7．如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(m)与汽车车速v(m/s)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25 m.现假设行驶在这条公路上的汽车的平均车长5 m，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”． (1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式； (2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？ 解：(1)T＝＝＝＋＋. (2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小． ∵T＝＋＋≥2＋＝， 当且仅当＝，即v＝20时取等号． ∴当v＝20 m/s时，经过观测点A的车流量最大． 8．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解：设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨． 由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1). 设平均每天所支付的总费用为y1元， 则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝10 989(元)， 当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立． 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 9．已知a，b都是正数，求证：ab＋4a＋b＋4≥8. 证明：∵ab＋4a＋b＋4＝(a＋1)(b＋4)，a>0，b>0，