专题2-3 函数的奇偶性、周期性和对称性8大考点-【考点全归纳】2024年高考数学一轮复习核心考点与重难点突破（新高考通用）

专题2-3 函数的奇偶性、周期性与对称性8大考点 知识点一 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 知识点二 函数的周期性 1、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 3、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 知识点三 函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 一、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 5、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 二、常见奇、偶函数的类型 1、（）为偶函数； 2、（）为奇函数； 3、（）为奇函数； 4、（）为奇函数； 5、（）为奇函数； 6、为偶函数； 7、为奇函数； 三、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 1、函数的奇偶性与函数的对称性的关系 （1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称， 当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数满足，则其函数图象关于点对称， 当,时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 2、函数对称性与周期性的关系 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 3、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 （1）①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. （2）①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. （3）①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. （4）①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. 其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。 考点一 函数奇偶性的判断 【例1】（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）函数的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【变式1-1】（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）下列函数中，在定义域内不是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）函数，则（ ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列函数为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2023·云南·校联考模拟预测）