专题06 函数的单调性与最值-备战2024年高考数学一轮复习【考点精析+真题精讲+模拟精练+题型专练】（新高考专用）

专题06 函数的单调性与最值 №考向解读 ➊考点精析 ➋真题精讲 ➌模拟精练 ➍专题训练 （新高考） 备战2024高考数学一轮复习 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题06 函数的单调性与最值 命题解读 命题预测 复习建议 函数的单调性是函数的一个重要性质，在历年的高考中，单调性都有考察，这部分往往与导数去相联系，单纯的用定义证明函数单调性的题目几乎没有。对于最值问题往往与函数单调性相联系，在闭区间上的最值是出现最多的，而在导数极值最值那部分考察的比较多。 预计2024年的高考函数的单调性出题还是以选择或者填空为主，主要是单调性的应用，应用单调性解不等式，判断大小，求解闭区间上的最值等问题。 集合复习策略： 1.理解函数单调性的定义； 2.掌握函数单调性的应用； 3.会利用函数的单调性求参数的范围。 →➊考点精析← 一. 函数单调性的定义 (1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)． (2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间． 二. 函数单调性的图像特征 对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减． 三. 复合函数的单调性 对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减． 四. 函数单调性的常用结论 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数； <0⇔f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，)． (3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减” 五.常用结论 1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； (4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． →➋真题精讲← 1. （2023新高考Ⅰ卷·4）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. （2023新高考Ⅱ卷·6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 3.（2023新高考Ⅰ卷·15） 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 4. （2023全国理科乙卷·6）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A. B. C. D. 5. （全国理科乙卷·11）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 6. （2023全国文科乙卷·8）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 7.（2023全国文科乙卷·10） 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A. B. C. D. 8. （2023新高考Ⅰ卷）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 9.（2023全国理科甲卷） 已知函数 （1）当时，讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围． 10. （2023全国文科甲卷）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． →➌模拟精练← 1．（2023·江苏南