鸡兔同笼问题（讲义）-六年级下册数学通用版

鸡兔同笼 一、鸡兔同笼的问题起源 鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一．大约在年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有个头；从下面数，有只脚．求笼中各有几只鸡和兔？ 二、解鸡兔同笼的基本思路 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即（只）。显然，鸡的只数就是（只）了。 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”。 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到。 解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有： 　　 鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 　　 兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡，那么就有： 　 　兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 　 　鸡数=鸡兔总数-兔数 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍 在学习的过程中，我们注重假设法的运用，在以后的学习中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法。 3、 讲练结合 （一）假设法--头和脚和 这类问题属于鸡兔同笼中比较基础的类型，条件中会告诉我们鸡和兔的总头数和总脚数，让我们求鸡兔各多少只，属于鸡兔同笼的经典问题。 【例题讲解】 鸡兔同笼，头共，足共，鸡兔各几只？ 解析：假设只都是兔，一共应有只脚，这和已知的只脚相比多了只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把只鸡当成只兔，就要比实际多（只）脚，那么只脚是我们把只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是，兔的只数是（只）。故答案是：鸡只，兔只。当然，这里我们也可以假设只全是鸡，那么总脚数就会减少，我们按照同样的方法也可以解决问题。 【巩固练习】 1.点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有个头，只脚．问：点点家养的鸡和兔各有多少只？ 2. 动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有只眼睛和只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？ 3.体育老师买了运动服上衣和裤子共件，共用了元，其中上衣每件元、裤子每件元，问老师买上衣和裤子各多少件？ （2） 假设法---头差（和）脚和（差） 这类题型会 告诉我们鸡兔共有多少只以及脚数的差（头和较差）或者是鸡兔的数量的差以及脚数的总和（头差脚和），我们依然可以利用假设法的思想来解决。 【例题讲解】一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？ 解析：已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有（只）脚，可知现在剩下（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有（只），鸡有（只）． 【巩固练习】 1. 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只? 2. 鸡、兔共有27只，兔的脚比鸡的脚多18只。兔有多少只？ 3. 鸡、兔同笼，鸡比兔多只，足数共只，问鸡、兔各几只？ （3） 假设法---隐藏条件 这类问题往往不会直接告诉我们“头和”、“脚和”，需要我们自己从条件中找到这些隐藏的信息。比如下面这个例题就是隐藏了采松果的天数。 【例题讲解】松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采个，雨天每天只能采个．它一连几天采了个松果，平均每天采个．问这几天中有几个雨天？ 解析：首先要根据已知条件计算一共采了多少天，再根据“鸡兔同笼”问题的解法计算． 因松鼠妈妈共采松果个，平均每天采个，所以实际用了（天）．假设这8天全是晴天，松鼠妈妈应采松果（个），比实际采的多了（个），因雨天比晴天少采（个），所以共有雨天（天）． 【巩固练习】 1.小松鼠采松果，晴天每天可以采个，雨天每天只能采个．它一连几天采了个松果，平均每天采个．那么其中有几天是雨天呢？ 3. 张老师给幼儿园的两个班的孩子分水果。大班每人分得2个苹果和5个橘子，小班每人分得2个苹果和3个橘子，张老师一共分掉了80个苹果和128个橘子。则大班有多少_人？小班有多少人？ 3.迷宫里的灯有两种：一种是上吊3个大灯，下缀6个小灯的九星连环灯；一种是上吊3个大灯，下缀15个小灯的十八星连环灯。已知大灯有408个，小灯有1437个，那么，九星连环灯有多少个？十八星连环灯有多少个？ （4） 假设法---倒扣型 此类问题多用在考试得分、扣工资等方面，问题的关键在于弄清楚得与