2023年中考数学公式定律速记清单：专题五 变量与函数

专题五 变量与函数——2023届中考数学公式定律速记清单 一：平面直角坐标系与函数 坐标系中的距离 （1）点到坐标轴及原点的距离 ①到轴的距离； ②到轴的距离； ③到原点的距离. （2）两点间的距离（设） ①轴，； ②轴，； ③为任意两点， 平面直角坐标系中的平移、旋转与对称 图形变换 图示 点的坐标规律 平移变换 左右平移：； 上下平移： 对称变换 点关于轴对称的点的的坐标为； 点关于轴对称的点的的坐标为； 点关于原点对称的点的的坐标为； 规律：关于谁对称谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号 旋转变换 点绕点逆时针旋转所得对应点的坐标为 自变量的取值范围 整式型 自变量的取值范围：任意实数，如中，为任意实数 分式型 自变量的取值范围：分母不为0，如中， 二次根式型 自变量的取值范围：被开方数大于等于0，如中， 分式二次根式型 自变量的取值范围：分母不为0且被开方数大于等于0，如中，；中，且 实际问题中 自变量的取值范围：使实际问题有意义 二：一次函数 一次函数的图象与性质 图象 经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 与坐标轴的交点 令，求对应的值，与轴的交点坐标为； 令，求对应的值，与轴的交点坐标为 一次函数图象的平移 平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】 （1）简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”； （2）直线可以看作由直线向上或向下平移个单位得到 向上平移个单位 向下平移个单位 向左平移个单位 向右平移个单位 同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系 的关系 与的关系 与相交 ， 与相交于轴上的一点 ， 与平行 一次函数与一元一次不等式（或）的关系 一次函数与一元一次不等式的关系 数的角度 不等于的解集在函数中，时的取值范围 不等式的解集在函数中，时的取值范围 形的角度 不等式的解集直线在轴上方的部分所对应的的取值范围 不等式的解集直线在轴下方的部分所对应的的取值范围 一次函数与二元一次方程（组）的关系 二元一次方程组（都不为0，且,都是常数）的解是一次函数和图象的交点坐标. 三：反比例函数 反比例函数的图象性质 反比例函数 的符号 图象 图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限 性质 增减性 在同一支上，随的增大而减小；在两支上，第一象限值大于第三象限值 在同一支上，随的增大而增大；在两支上，第二象限值大于第四象限值 对称性 关于直线，成轴对称；关于原点成中心对称. 注：因为反比例函数和反比例函数图象都关于原点对称，故在同一直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象若有交点，则两个交点关于原点对称 渐近趋势 反比例函数图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交 反比例函数比例系数的几何意义 （1）如图所示，过曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，，所得的矩形的面积.因为，所以，所以，即过双曲线上任意一点作轴，轴的垂线，所得的矩形面积为. （2）如图，过双曲线上的任意一点作轴，垂足为，连接，则，即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为. 四：二次函数 二次函数的性质 二次函数 （是常数，） 对称轴 或（其中，为二次函数图象）与轴两个交点的横坐标 顶点坐标 （1）利用顶点坐标公式求解； （2）用配方法把一般式转化为顶点式求解； （3）将对称轴代入函数解析式求解 增减性 时，当时，随的增大而减小；当时，取最小值；当时，随的增大而增大 时，当时，随的增大而增大；当时，取最大值；当时，随的增大而减小 用待定系数法求二次函数的解析式时，注意解析式的设法，常见情况如下 已知 所设表达式 顶点+其他 顶点在原点处： 顶点在轴上： 顶点在轴上： 与轴的两个交点+其他 （注：与轴的两个交点为） 对称轴+与轴一交点+其他 （1），当对称轴为轴时， （2）由对称轴与求出抛物线与轴的另一个交点，设解析式 （注：对称轴为直线，与轴的一个交点为） 任意三个点 过原点： 抛物线的平移 二次函数与一元二次方程 （1）一元二次方程的解是二次函数的图象与轴的交点的横坐标； （2）判别式决定抛物线与轴的交点个数： ①方程有两个不相等的实数根抛物线与轴有两个交点； ②方程有两个相等的实数根抛物线与轴有一个交点； ③方程没有实数根抛物线与轴没有交点