2023年九年级中考数学解题技巧（7）巧取特殊值（二次函数图像信息题）

中考数学解题技巧（七）、巧取特殊值(二次函数图像信息题) （马铁汉） 二次函数图像信息多选题，是运用图像信息进行推理，判断结论是否正确。 此类题的特点是，题干中，二次函数解析式含有参数，具有一般性；还会给出一些条件作限制，如告诉二次函数的对称轴位置、经过某些点、在指定区间范围内的增减性等；给出几个结论，让你判断它们中哪些结论是正确的。 常规方法推理需要很扎实的基本功，且需要大量的时间。这里我们不妨取特殊值，验证结论是否正确，反正是选择题，找出其中的正确答案即可。 下面通过几个中考题，作简要介绍。 鉴赏题：1、（2022随州）10．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论正确的有（C） ①； ②； ③函数的最大值为； ④若关于x的方程无实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 方法一、（推理判断） 解：①× . ② √ 对称轴，∴，∴ ③ √ 由图形知，当时，。∴，∴ 由②知 由图形知当时，函数取最大值。 ∴ ④ √ 若关于x的方数无实数根，则∴ ∴ 故选C 方法二、（取特殊值验证） 解：针对题中取，则二次函数解析式可写成交点式，再变成一般式，然后验证四个结论是否正确： ， ①，∴结论错误。 ②，∴结论正确。 ③， 最大值为，，∴结论正确。 ④，化简为 ，无解。∴结论正确。 故选C。 鉴赏题：2、(2022恩施)12.已知抛物线 ， 当时，；当时，下列判断： ①； ②若，则 ③已知点，在抛物线上，当时，； ④若方程 的两实数根为，，则 其中正确的有个．(  C  ) A. B. C. D. 解： 方法一：（取特殊值验证） 针对题中②问题，取，得二次函数符合题中条件，如图1。下面验证： ①√ ，∴ ②√ 由取特殊值得知正确。 ③√ 如图1所示。 ④× 这是在的前提下得出的结论，若没有这个前提呢，如图2所示这个结论就不一定正确了。这是取特殊值的局限性。所以针对题中条件和问题取特殊值判断时，要再三斟酌！ 方法二：（推理判断） ①二次函数 与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根。 ∴∆= ∴ ∴ 结论正确。 ②当时，， ∴ ∴当c˃1时，∴结论正确. ③抛物线的对称轴。二次函数，当时，随增大而减小。 ∴当时，。∴结论正确。 ④当时， ∴ ∵c的范围没有确定 ∴不能保证 ∵ 的两实数根为，，得 ∴不能保证 ∴结论错误。 附参考方法技巧： 关于二次函数图像多选题，主要考查二次函数图像的性质、二次函数与一元二次方程的关系，方程、不等式性质，有时涉及几何图形的性质，综合性强，比较灵活，要关注问题条件的特殊性，下面介绍一些解题方法技巧。 （1） .确定、、符号的方法： ①由抛物线开口方向判断的正负性： 开口向上，；开口向下，。 ②由对称轴在轴的左右位置，可判别与的符号是否相同，方法是左同右异： 对称轴在 轴左边 ，、同号； 对称轴在轴右边 ，、异号。 ③由抛物线与 轴交点位置，判断的符号： 交点在原点上方，； 交点在原点下方，。 ④决定抛物线的形状，、决定对称轴的位置，、、决定顶点位置。 （2） .由对称轴的值，可得方程或不等式，用于判断含、的式子。 比如：当时，； 当时，看的符号，若得到；若时，得到。 当时，。多选题中经常用到。 （3） .关注特殊点（=、、......）的函数值或正负性，与坐标轴的交点及顶点坐标，可得方程或不等式。 比如当时，得到关于的方程或不等式； 时，得到关于的方程或不等式。 再加上若有或代入，可得到关于或关于的方程或不等式。 （4）关注抛物线的对称性。 （5）得出的方程或不等式可以相加减或相乘。 （6）关注函数的增减性，自变量的取值范围。 （7）关注二次函数与一元二次方程的关系。 ①抛物线与横轴交点个数，确定的范围，多用于判断含的式子； ②运用根与系数关系，判断含的式子。 （8）有时可采用特殊方法：取特殊值，得出符合二次函数特点的具体函数，通过计算作出判断，注意取值的特殊性是否影响结论的判断。（有时确定的范围时，可以取满足条件的顶点值，通过计算得出的值，判断的范围是否正确。） 例1、（2021鄂州9．）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论： ①； ②； ③； ④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5． 上