2023年九年级中考数学解题技巧（6）坐标系里求坐标

中考数学108攻略（六）、坐标系里求坐标 (马铁汉) 中考数学压轴题，是在平面直角坐标系中，以二次函数为背景，涉及到一次函数、三角函数、几何等知识的综合考题。一般由易到难设置3问，第一问是基础，很容易；第二问是小综合，不是很难；第三问较难或较麻烦。想考出理想的成绩，在做第24题时，前2问，同学们一定要做对。第3问能做就做，做得怎样是怎样，尽力就可以了，做不出来也很正常，时间太紧了，给你充足的时间，我相信你也做得出来。 坐标系里求坐标，是坐标几何题的常考问题。 求点的坐标时，注重运用数学思想：方程思想、函数思想、从特殊到一般思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想、建模思想。熟练掌握点的坐标与线段长度相互转换。 求点坐标的方法较多，要根据题目条件，灵活选择，熟练运用。 求点坐标常用的方法有代数法、三角函数法、几何法。 （1） 代数法指的是 ①根据函数定义，求点的坐标； ②列一元二次方程，求点的坐标； ③列方程组，求点的坐标； ④建立函数分析最值，求点的坐标。 （2） 三角函数法指的是 发现相等的角，用三角函数对应的比值相等列方程，求点的坐标。 （类似于相似三角形对应线段的比值相等）。 （3）几何法指的是 ①找相等线段或比例线段列方程，求点的坐标； ②构造全等三角形得相等线段列方程，求点的坐标； ③构造相似三角形得比例线段列方程，求点的坐标； ④在直角三角形中用勾股定理列方程，求点的坐标。 找相等的线段、比例线段，尽量找与坐标轴平行的线段（或转化到与坐标轴平行）； 构造全等三角形或相似三角形时，尽量有边与坐标轴平行为好；这样方便表示线段长度。 求点的坐标，经常用到参数，方便运用方程思想、函数思想思考问题、解决问题。 如果遇到某些问题用勾股定理、三角函数和相似列方程都能解答，那么首选用三角函数关系得比例式列方程，其次用相似，最后用勾股定理。 下面举例介绍，求点坐标常用方法的具体运用。 例1、（2022武汉）24.（本小题满分12分） 抛物线交轴于，两点（在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点. （1） 直接写出，两点的坐标； 分析：（解一元二次方程，求点的坐标） 第一问求抛物线与轴交点的坐标，是根据二次函数与一元二次方程的关系求点的坐标。当二次函数值为0时，求自变量的值，就得到抛物线与轴交点的横坐标。即将二次函数问题转化为一元二次方程的问题了。 解： ∴ ∴A(-1，0),B(3，0) （2） 如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标； 分析：（解方程组，求点的坐标） 如图1，OA=OP，∴P(0，1)。直线AC解析式可求， 为. A(-1,0),B(3,0),∴AB=4， OA=OP,∴∠BAP=45°,点B到直线AC的距离可求， 求得是. 抛物线上到直线AC的距离等于的点是有的。 在哪里呢？怎么求呢？如图1，画草图，分析特性。 图中与点B位于直线AC同侧，且到直线AC的距离相等，直线与直线AC平行，作⊥AC垂足为则=，且点与点B到直线AC的铅锤距离等于BQ=4 （∵∠PAO=45°，∴AB=BQ=4）（为什么要求点B到直线AC的铅锤距离呢？为了好求平移后直线的方程，我们都是将直线上、下平移的）。这就知道点是直线AC向下平移4个单位后与抛物线的交点之一。而抛物线与轴交点纵坐标是-3，此点到点P的距离刚好是4，所以点就是抛物线与轴的交点。 图中点与点B位于直线AC的两侧，同理可知是直线AC向上平移4个单位后与抛物线的交点。只要求出直线的方程，与二次函数解析式联立起来解方程组，就可以求出点的横坐标了。 解： 作BQ⊥轴交直线AC于点Q. ∵OA=OP,∴∠BAQ=45° ∴BQ=AB=4 作B∥AC交抛物线于另一点. 易求AC：， B是AC向下平移4个单位得到的。 ∴B： 解方程组 得（舍去） ∴ 将直线AC向上平移4个单位，与抛物线交于点 ： 解方程组 得, ∴, （3）如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为.求的值（用含的式子表示）. 解： 易求AC：得P(0,) 再求BP: 与联立起来求点E的横坐标为 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 例2、（2021武汉）24．（本小题满分12分） 抛物线y＝x2－1交x轴于A，B两点（A在B的左边）． （1）□ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上． ①如图（1），若点C的坐标是(0，3)，点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标； 分析： 二次函数y＝x2－1，当函数值y为0时，求出自变量x的值，可得点A的坐标； 根据平行四边形的性质，对边平行且相等，构造全等三角形，可求点D的坐标