2023 年九年级中考数学解题技巧（5）二大类八模型

中考数学解题技巧（五）、两大类八模型 ———二次函数综合应用题 (马铁汉) 函数的表示方法有表格法、解析式法和图像法三种方法。因此，二次函数综合应用题，题干图文并茂，内容丰富多彩，有时还有表格插入；由于题目较长，文字较多，数量复杂，光审题就是件困难的事。 审题一定要仔细。读题时，篇幅较大的背景文字了解即可，重点阅读有用的数量信息；为了弄清楚重要信息，可把各个量用不同记号标注出来，加深印象，以免搞糊涂。哪些是常量，哪些是变量；哪个是自变量，哪个是自变量的函数；有时还有参数渗入，它是什么含义，都要搞准确。 二次函数综合应用题，涉及的知识面较广（一次函数、二次函数，不等式，一元一次方程、一元二次方程、分式方程等）。解答此题，需要具备数形结合思想、方程思想、函数思想，建模思想等数学思想；需要扎实的基础知识和熟练的基本技能，然后做到稳扎稳打，层层分析，逐步解决。 二次函数综合应用题，考查方式有两大类八个模型。 1、考查函数最值类： 求实际问题中函数最值。有下面四个模型： ①求二次函数顶点纵坐标，即为实际问题的最值； ②求区间内函数最值，即为实际问题的最值； ③求函数整数点最值，即为实际问题的最值； ④分段函数，需比较各区间函数最值后，确定实际问题的最值。 2、考查自变量范围类： 求自变量取值范围或求复合函数中参数范围。有下面四种模型： ①由函数增减性，结合函数值要求，求自变量取值范围； ②复合函数，由函数增减性，结合对称轴位置，求参数； ③复合函数，由函数增减性，结合对称轴位置，确定区间最值，求参数； ④复合函数，由二次函数顶点坐标，求参数。 模型一、求二次函数顶点纵坐标，即为实际问题的最值 例1、（2022武汉.22.）（本小题满分10分） 在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处. 小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表. 运动时间 0 1 2 3 4 运动速度 10 9.5 9 8.5 8 运动距离 0 9.75 19 27.75 36 小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系. （1） 直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式 （不要求写出自变量的取值范围） （2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度； （3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由. 解： （1），. （2）解：依题意，得. ∴. 解得，，. 当时，；当时，（舍）. 答：黑球减速后运动时的速度为. （3）解：设黑白两球的距离为. . ∵，抛物线开口向上， ∴当时，的值最小为6. （在取值范围内，顶点纵坐标即为实际问题的最值） ∴黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球. 另解1：当时，，判定方程无解. 另解2：当黑球的速度减小到时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球。先确定黑球速度为时，其运动时间为，再判断黑白两球的运动距离之差小于. 例2、 （2019鄂州.22.） “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 解： （1） （2） ∵-5<0，抛物线开口向下， ∴时， （在取值范围内，顶点纵坐标即为实际问题的最值） ∴单价为70元，即降价10元时，每月获得利润最大，最大利润为4500元。 （3） 当时， ， ∵ -5<0,抛物线开口向下，对称轴是x=70, ∴当 66≤≤74时， ∴让消费者得到最大的实惠，单价应定为66元。 模型二、求区间内最值，即为实际问题的最值. 例3、 （2022荆州.23.） 某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（