2023年中考数学解题技巧（4）确保圆的考题

中考数学解题技巧(四)、确保圆的考题 (马铁汉) 第1部分、 圆的考点: 圆的知识点很多,下面有罗列。要熟练掌握几个重要考点——垂径定理、圆周角定理、切线的定理及弧弦圆心角之间的关系等。 1、 垂径定理及其推论 1、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。 如右图:若AB⊥CD,则AM=BM , AC弧=BC弧,AD弧=BD弧。 2、 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。 如右图:若AM=BM , 则AB⊥CD,AC弧=BC弧,AD弧=BD弧。 3、 延伸: ①弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧。 ②平分弦所对的弧的直径,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧。 4、归纳:①过圆心的弦(直径),②直径垂直于弦,③直径平分弦,④直径平分弦所对的劣弧,⑤直径平分弦所对的优弧,上述5个命题中,若有2个成立,则其它3个也成立。 2、 弧、弦、圆心角之间的关系 1、 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等。 如右图:若∠AOB=∠COD,则AB弧=CD弧,AB=CD. 2、 推论:上述3个命题中,有1个成立,则另2个也成立。 3、 圆周角定理及其推论 1、 定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 如右图:∠BAD= ∠BOD 2、 推论: ①同弧或等弧所对的圆周角相等。 ②半圆(或直径)所对的圆周角是直角,直角所对的弦是直径。 如右图: 若AB是直径,则∠ADB是直角; 反之,若∠ADB是直角,则AB是直径。 3、 同一圆中一条弦对2条弧,对1个圆心角,对无数个圆周角。 四、圆内接四边形的性质 1、 圆内接四边形对角互补。 如右图:∠ABC+∠ADC=,∠BAD+∠BCD=. 2、 圆内接四边形的任一个外角等于它的内对角。 如右图:∠DCE=∠BAD 3、 相交弦定理: 如右图:(参考内容) 4、 四点共圆的判定:(参考内容,选择题、填空题中用) 课本中删去了,怎样的四点在同一圆上,同一圆上四点有哪些性质, 要做到心中有数,对解决有关圆的问题有帮助。证四点共圆思路是先从四点中选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,或者四点到某点的距离都相等,从而确定四点共圆。还有以下一些判定方法: ①共斜边的两个直角三角形,则四个顶点共圆。 ②共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆。 ③对于凸四边形,对角互补,则四点共圆。 ④相交弦定理、切割线定理的逆定理也可以判定。 五、切线的性质与判定 1、切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。 推论: ①过圆心且垂直于切线的直线必过切点。 ②过切点且垂直于切线的直线必过圆心。 2、 切线的判定: ①和圆有且只有1个公共点的直线是圆的切线。 ②如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径,那么这条直线是圆的切线。 (简称:无切点时:作垂直,证半径) ③过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (简称:有切点时:连半径,证垂直) 3、弦切角定理:弦切角等于所夹弧上的圆周角。 4、切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等, 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 如右图:PA、PB是⊙O的两条切线,则PA=PB,PO平分∠APB。 5切割线定理:(参考内容) 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与 圆的交点的两条线段长的比例中项。 如右图:PA是圆的切线,PC是圆的割线,则 六、三角形的外接圆、内切圆 1、 三角形的外接圆的圆心是三角形三条垂直平分线的交点, 是圆的外心。 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。 如图:OA=OB=OC 2、 三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点, 是圆的内心。 三角形的内心到三角形三边的距离相等。 如图:OD=OE=OF 七、圆的有关计算 1、圆的周长: 2、圆的面积: 3、弧长: 4、扇形面积: 第2部分、 圆的考查方向: 在圆中有关计算或证明,思路是相通的。能计算的就会证明,能证明的就会计算;常常是计算中含有证明,证明中含有计算。 近几年数学中考,圆的考题中经常求线段长度。关于线段长的计算,确实是重要的训练项目,因为它是其它考查方向的基础。 关于线段的计算,通常是把所求线段放到三角形中去求解的(有时计算不出来,可以设参数,列方程或方程组帮忙求解)(有时用面积法这个特殊方法求解)。 下面介绍圆中求线段的一般方法(记住几个基本模型,对以后添加辅助线和找解题途径都大有帮助——看图有联想、有感觉,培养自己对图形的敏感度)。 (一)先小结线型几何中求线段长度的常用方法: 1、 把要求的线段放到一个三角形中,用勾股定理或锐角三角函数求解。 (1)放到一个直角三角形中求解。可求线段长度的直角三角形有2种: ①已知两边,用勾股定