专题2-2 函数的单调性与最值7大考点-【考点全归纳】2024年高考数学一轮复习核心考点与重难点突破（新高考通用）

专题2-2 函数的单调性与最值7大考点 知识点一 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 2、单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 3、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 知识点二 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)． 2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 4、函数最值存在的两条结论 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． （2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 知识点三 函数单调性的性质 1、若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 2、复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 一、单调性定义的等价形式: 1、函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 2、函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 二、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。 三、判断函数单调性的方法 1、定义法：定义法的一般步骤为取值→作差变形→定号→得出单调性； 2、导数法：对函数求导→确定导数的符号→得出结论（导数大于零，函数为增；导数小于零，函数为减）； 3、图像法：根据函数图象的升降趋势判断函数的单调性（一般用于客观题）； 4、特殊指法：若已知函数在某区间上单调，可以通过带入一些特殊值的方法来判断函数的单调性（一般用于客观题）； 5、性质法：根据基本初等函数的单调性推出由这些基本初等函数经过运算（加、减、乘、除、复合等）得来的函数单调性（一般用于客观题）。 考点一 函数单调性的判断 【例1】（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考阶段练习）（多选）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·山东泰安·统考模拟预测）下列函数中，为奇函数且在上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】