专题15 三角形——角平分线的相关问题-【暑期培优】2023年暑假七升八（新八年级）数学培优计划（人教版）

2023年 七升八数学暑假培优计划 专题15 三角形——角平分线的相关问题 1．如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，求证：． 2．如图，点是的外角平分线与的交点，求证：． 3．如图所示，已知与相交于点F，平分，平分，试说明三者之间的数量关系． 4．如图1，在中，点D是延长线上一点，过点D作，平分，平分，与交于点G，直线的直线交于点F．    (1)证明：； (2)在图1中，若，求的度数； (3)如图2，连接FE，若，求证：． 5．综合与探究：    (1)如图1，，分别是的两个内角，的平分线，说明的理由． 【深入探究】 (2)①如图2，，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是 　 　； ②如图3，，分别是的一个内角和一个外角的平分线，，交于点，探究与之间的等量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (3)请用以上结论解决下列问题：如图4，在中，，分别平分，，，，分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，．若，则的度数是 　 　． 6．中，点在边延长线上，的延长线与的角平分线相交于点．    (1)如图1，求证：， (2)如图2，的角平分线交于，则与之间的数量关系为______， (3)在（2）的条件下如图3，过点作于，，若，求的度数． 7．如图，、是的角平分线，与相交于点．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长至，的角平分线交射线于点，若，求的度数． 8．已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC．    (1)如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C； (2)请利用（1）的结论探索下列问题： ①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小； ②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP∠BAD，∠BCP∠BCD，试探索α，β，γ之间的数量关系，并说明理由． 9．如图，四边形中，，平分，、交于点．    (1)如图1，若， ①求证：；   ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于N，若的大小为，试说明：平分 10．（1）如图①，的平分线与的平分线交于点，，，，求的大小． （2）如图②，的平分线与的平分线交于点，，，求的大小． （3）如图③，的平分线与的平分线交于点，则与、之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你的结论，并给出证明；若不存在，请说明理由． 11．已知，直线交、交于点M、N． (1)如图1所示，点E在线段上，设，，则 (2)如图2所示，点E在线段上，，平分，交的延长线于点F，试找出、、之间的数量关系，并证明；（提示：不能使用“三角形内角和是”） (3)如图3所示，点B、C、D在同一条直线上，与的角平分线交于点P，请直接写出与的数量关系： ． 12．如图：已知点在四边形的边的延长线上，、分别是、的角平分线，设，． (1)如图1：若，判断、的位置关系，并说明理由； (2)如图2：若，、相交于点． ①当，时，则__________； ②与、有怎样的数量关系？说明理由； (3)如图3：若，、的反向延长线相交于点，则__________．（用含、的代数式表示） 13．如图1，四边形中，是四边形的外角． (1)若，则_________； (2)如图2，平分外角，平分外角，与相交于点M，若，求的度数； (3)如图3，平分外角，平分外角，若，判断与的位置关系，并说明理由． 14．已知中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，、分别平分和的外角，请直接写出与的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接PA，过P作交延长线于G，若，且，交的延长线于H，求的度数． 15．如图1，在中，平分，平分． (1)若，则的度数为______； (2)若，直线经过点D． ①如图2，若，求的度数（用含α的代数式表示）； ②如图3，若绕点D旋转，分别交线段于点M，N，试问在旋转过程中的度数是否会发生改变？若不变，求出的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由； ③如图4，继续旋转直线，与线段交于点N，与的延长线交于点M，请直接写出与的关系（用含的代数式表示）． 16．（1）如图1，的平分线与的平分线交于点E，，则的大小是 　 　； （2）如图2，的平分线与的平分线交于点E，，求的大小；（用含的代数式表示） （3）如图3，在中，，是的角平分线，点E是延长线上一点，作与点F，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由． 17．如图1，已知三角形，是线段延长线上一点，．    (1)求证：； (2)如图2，过作交于，平分，平分，若，求的度数； (3)如图3，，点为线段上一点，点为射线上一动点，线段，分别交于点、，其中，，又过作，则与的数量关系