第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末梳理(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

+,-&./+01"234 章末梳理 知识结构·理脉络 一元 二次 函数、 方程 和不 等式 — — 等式性质 和不等式 性质 — —不等关系与不等式的概念 —等式性质 —不等式的基本性质 —比较实数的大小（比较法） — 基本不等式 槡ａｂ≤ａ ＋ ｂ２ （ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０） — —基本不等式的变式与拓展 —最值定理（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）— — 若ａ ＋ ｂ ＝ Ｓ（定值），则当ａ ＝ ｂ时，ａｂ取得最大值１４ Ｓ ２ — —若ａｂ ＝ Ｐ（定值），则当ａ ＝ ｂ时，ａ ＋ ｂ取得最小值２槡Ｐ — —求最值的常用方法 —基本不等式的应用— —求实际应用问题的最值 —比较实数的大小 —证明不等式 — 二次函数 与一元二 次方程、 不等式 — —一元二次不等式的概念 —三个“二次”（一元二次方程的根、一元二次函数的图象、一元二次不等式的解集）之间的关系 —一元二次不等式的解法—利用三个“二次”之间的关系 — —不含参数的一元二次不等式的解法 —含参数的一元二次不等式的解法 要点梳理·晰精华 　 　 １．作差法比较大小 作差法的依据是ａ － ｂ ＞ ０ａ ＞ ｂ；ａ － ｂ ＝ ０ ａ ＝ ｂ；ａ － ｂ ＜ ０ａ ＜ ｂ． 步骤：作差→变形→判断差的符号→得出 结论． 注意：只需要判断差的符号，至于差的值究 竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式 的形式或多个因式的积的形式． ２．不等式基本性质中注意问题 （１）不等式的基本性质中性质４，６要注意 符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌 握．如：“ａ ＞ ｂ且ａｂ ＞ ０，则１ａ ＜ １ ｂ”，“ａ ＞ ｂ，ｃ ＜ ｄ， 则ａ － ｃ ＞ ｂ － ｄ”，“ａ ＞ ｂ ＞ ０，ｃ ＞ ｄ ＞ ０则ａｄ ＞ ｂ ｃ”． 在使用这些性质时，如果不满足条件，要注意符 号的变换． （２）不等式的基本性质中，对表达不等式性 质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向 的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用 不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意 不等式成立的条件，否则将会出现一些错误． ３．基本不等式的常用变式 （１）ｂａ ＋ ａ ｂ≥２（ａ，ｂ同号）； ｂ ａ ＋ ａ ｂ≤ － ２（ａ， ｂ异号）                      ． !!"# 　 ０５０ !"#$%&'() ＲＪＡ * （２）ａ ＋ １ａ≥２（ａ ＞ ０）；ａ ＋ １ ａ≤ － ２（ａ ＜ ０）． （３）１ａ ＋ １ ｂ≥ ４ ａ ＋ ｂ（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）． （４）ａ ２ ｂ≥２ａ － ｂ（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）． （５）２（ａ２ ＋ ｂ２）≥（ａ ＋ ｂ）２（ａ，ｂ∈Ｒ）． （６） ２１ ａ ＋ １ ｂ ≤槡ａｂ≤ａ ＋ ｂ２ ≤ ａ２ ＋ ｂ２槡２ （ａ ＞ ０， ｂ ＞ ０）． ４．利用基本不等式求最值必须满足三个条 件才可以进行，即“一正，二定，三相等”．具体理 解如下 （１）“一正”：即所求最值的各项必须都是 正值，否则就容易得出错误的答案． （２）“二定”：即含变量的各项的和或者积 必须是定值，如要求ａ ＋ ｂ的最小值，ａｂ必须是 定值；求ａｂ的最大值，ａ ＋ ｂ必须是定值． （３）“三相等”：具备不等式中等号成立的 条件，使函数取得最大值或最小值． 在利用基本不等式求最值时必须同时考虑 以上三个条件，如果其中一个不成立就可能得 出错误的答案． ５．二次项系数是正数的二次函数、一元二 次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之 间的关系如下 （１）从函数观点来看，一元二次不等式ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＞ ０（ａ ＞ ０）的解集，就是二次函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ＞ ０）的图象在ｘ轴上方部分的点 的横坐标ｘ的集合；ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＜ ０（ａ ＞ ０）的解 集，就是二次函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ＞ ０）的图象 在ｘ轴下方部分的点的横坐标ｘ的集合． （２）从方程观点来看，一元二次方程的根是 二次函数的图象与ｘ轴交点的横坐标，一元二 次不等式ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＞ ０（ａ ＞ ０）的解集，就是大 于大根，或者小于小根的实数的集合；ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＜ ０（ａ ＞ ０）的解集，就是大于小根，且小于大根 的实数的集合． 因此，利用二次函数的图象和一元二次方 程的两根就可以解一元二次不等式                                   ． 素养突破·提技能 数学运算 核心素养 　 　 考查方向　 比较大小 　 　 典例１ 设ｘ∈Ｒ且ｘ≠１，试比较１１ ＋ ｘ与 １ － ｘ的大小． 作答：