(教案)第4章 4.6 函数的应用(二)-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.6　函数的应用(二) 学习任务目标 1．了解幂函数、指数函数、对数函数的广泛应用． 2．通过数据的合理分析，能自己建立函数模型，解决实际问题. (1)一次函数模型：f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)； (2)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． 知识点　常用函数模型 常用函数模型 指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) [微训练] 1．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为(　　) A．y＝x(x∈N*) B．y＝x(x∈N*) C．y＝2x(x∈N*) D．y＝(x∈N*) D　解析：由题意可得，剩下的部分依次为，，，…，所以x天后剩下的部分y与x的函数关系式为y＝(x∈N*)． 2．有一个盛水的容器，由悬在它上方的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中，时刻t与水面高度y的关系如图所示，图中PQ为一条线段，与之对应的容器的形状是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D B　解析：由函数图象可判断出该容器必定有不同规则形状，并且一开始先慢后快，所以下边粗，上边细，再由PQ为一条线段知，容器上端必是直的一段，故排除A，C，D. 已知函数模型解决实际问题 常见的函数模型有：一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型及较简单的指数函数和对数函数模型以及幂函数模型．请思考并回答以下问题： 探究1：你能写出指数、对数函数模型的解析式吗？ 提示：指数函数模型：f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)； 对数函数模型：f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，x>0，b≠0)． 探究2：如何求已知函数模型中的参数？ 提示：函数模型中的参数主要通过待定系数法求解． 1．在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y(单位：h)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718 28…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃时的保鲜时间为120 h，在30 ℃时的保鲜时间为15 h，则该食品在20 ℃时的保鲜时间为(　　) A．30 h B．40 h C．50 h D．80 h A　解析：由题意可知所以e30k＝，所以e10k＝，所以e20k＋b＝(e10k)2·eb＝×120＝30. 2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)． (1)平时常人交谈时的声强约为10－6 W/m2，求其声强级； (2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？ (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7 W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？ 解：(1)当I＝10－6 W/m2时，代入得Y＝10lg＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝． (2)当Y＝0时，即为10lg ＝0，所以＝1， 所以I＝10－12 W/m2，则能听到的最低声强为10－12 W/m2. (3)当声强I＝5×10－7 W/m2时，声强级Y＝10lg ＝10lg (5×105)＝50＋10lg 5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息． 建立函数模型解决实际问题 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一： 每天回报40元； 方案二： 第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三： 第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请思考以下问题： 探究1：设第x天所得的回报为y元，那么上述三种投资方案对应的函数模型分别是什么？ 提示：方案一可以用y＝40 (x∈N)进行描述；方案二可以用y＝10x(x∈N)进行描述；方案三可以用y＝0.4×2x－1(x∈N)进行描述． 探究2：上述三个函数分别是什么类型的函数？其单调性如何？ 提示：方案一的函数是常数函数，方案二是一次函数模型，是单调递增函数，增长量固定不变；方案三是指数函数模型，是单调递增函数，且增长量成倍增加． 【例1】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人