(教案)第4章 4.5 增长速度的比较-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.5　增长速度的比较 学习任务目标 1．理解函数平均变化率的概念． 2．会求函数在给定区间上的平均变化率． 3．掌握函数的平均变化率与单调性的关系. 常见的几类增长函数模型： (1)一次函数：y＝kx＋b(k>0). (2)指数函数：y＝ax(a>1). (3)对数函数：y＝logax(a>1). (4)幂函数：y＝xα(α>0). 知识点一　用平均变化率比较函数值变化的快慢 定义：函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x2<x1时)上的平均变化率为＝. [微训练] 函数f(x)＝3x2在[2,6]内的平均变化率为________. 24　解析：f(6)＝108，f(2)＝12，所以平均变化率为＝＝24. 知识点二　两种重要的函数增长 1．指数增长 (1)性质：当a＞1时，指数函数f(x)＝ax，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的增大，f(x)＝ax的函数值增长的越来越快. (2)定义：类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长、爆炸式增长)． 2．线性增长 类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长)． [微训练] 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)＝5x＋2，自变量每增加1个单位，函数值将增加2个单位．(　　) ×　提示：自变量每增加1个单位，函数值将增加5个单位． (2)增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型． (　　) √　提示：线性增长的增长速度是不变的． (3)指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大．(　　) ×　提示：当a>1时，指数增长速度比线性增长速度大. 平均变化率 1．y＝2x＋1在[1,2]内的平均变化率为(　　) A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 C　解析：当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5，故平均变化率为＝2. 2．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是(　　) A．2　　 B．2x C．2＋Δx　 D．2＋(Δx)2 C　解析：依题意，所求平均变化率为＝2＋Δx. 3．函数f(x)＝在区间[1，a]上的平均变化率为，则实数a的值为(　　) A．10　　 B．9　　 C．8　　 D．7 B　解析：f(x)＝在区间[1，a]上的平均变化率为＝＝＝，解得a＝9，故实数a的值为9. 4．(多选题)若函数f(x)＝x2由x＝1至x＝1＋Δx的平均变化率的取值范围是(1.975,2.025)，则增量Δx的取值可以为(　　) A．－0.1　　 B．0.001　 C．0.01　　 D．0.1 BC　解析：＝＝Δx＋2，因为函数f(x)＝x2由x＝1至x＝1＋Δx的平均变化率的取值范围是(1.975,2.025)，所以1.975<Δx＋2<2.025，－0.025<Δx<0.025，结合选项知，B，C符合题意． 平均变化率的大小比较 已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2，h(x)＝log2x，观察函数y＝x2，y＝2x，y＝log2x在区间(0，＋∞)上的图象，思考以下问题： 探究1：三个函数在区间(0，＋∞)上的图象有什么特点？ 提示：三个函数在区间(0，＋∞)上的图象都是上升的，即单调递增． 探究2：当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？ 提示：三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢． 【例1】已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数在区间[a，a＋1](a>1)上的平均变化率的大小． 解：因为＝＝2×3a，＝＝2，＝＝log3，又因为a>1，所以2×3a>2×31＝6，log3<log3＝log32<log33＝1<6，因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小． 1．若函数f(x)＝x，g(x)＝x2，h(x)＝x3在[0,1]上的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则下面结论正确的是(　　) A．m1＝m2＝m3 B．m1>m2>m3 C．m2>m1>m3 D．m1<m2<m3 A　解析：函数f(x)＝x在[0,1]上的平均变化率为m1＝＝1；函数g(x)＝x2在[0,1]上的平均变化率为m2＝＝1；函数h(x)＝x3在[0,1]上的平均变化率为m3＝＝1.所以m1＝m2＝m3. 2．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝3x，h(x)＝x3，则在区间[1,2]上函数值增长速度的大小顺序是(　　) A．h(x)<f(x)<g(x) B．h(x)<g(x)<f(x) C．f(x)<g(x)<h(x) D．g(x)<f(x)<h(x) C　解析：因为＝＝2，＝＝6，＝＝7，所以在区