4.5 增长速度的比较（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.5 增长速度的比较 4.5 增长速度的比较 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 理解平均变化率的概念、公式与几何意义，会计算函数在区间上的平均变化率，知道可以用平均变化率刻画函数增长快慢。 对比认识线性增长（一次函数，直线上升）、指数增长（指数爆炸）、对数增长的增长特征，能在自变量充分大时比较三者增长速度：指数增长远快于线性增长，线性增长快于对数增长。 能借助表格、图像、平均变化率分析简单实际问题，识别三类增长模型。 重点：用平均变化率比较增长速度；三类函数增长特点。 难点：理解"指数爆炸"，理解自变量足够大时增长速度的层级差异。 同学们，我们先看一个投资选择问题： 有三种回报方案，时间 30 天： 方案 1：每天固定拿到 40 元； 方案 2：第一天 10 元，之后每天比前一天多拿 10 元； 方案 3：第一天 0.4 元，之后每天回报是前一天的 2 倍。 大家直观猜一猜：30 天后哪一种收益最高？ 生活情境 一开始计算前几天，方案 1、2 的钱明显更多，方案 3 很少；但随着天数增加，方案 3 的收益会快速反超，最后远远超过另外两个方案。 问题：为什么会出现这种反差？怎么用数学定量说明谁增长更快？ 之前我们只看函数图像增减，今天学习一个工具——平均变化率，用它来定量比较不同函数的增长速度，认识直线上升、指数爆炸、对数增长三种典型增长模型。 目标一：平均变化率的概念 定义 知识讲解 互动探究 新课引入 核心定义 函数 y=f(x) 在区间 （或 ）上的平均变化率为： 本质：函数值的改变量（Δf）与自变量的改变量（Δx）之比。 常见函数的平均变化率公式 常数函数 f(x)=a：平均变化率为 0。 一次函数 f(x)=kx+b：平均变化率为 k（即直线的斜率）。 二次函数 f(x)=+bx+c：平均变化率为 +b。 5 计算步骤 知识讲解 互动探究 新课引入 单位长度区间上的平均变化率 函数在区间 [a,a+1] 上的平均变化率简化为：f(a+1)-f(a)。 例如：y= 在 [1,2] 上的平均变化率为 =6。 求平均变化率的三个步骤 求自变量的改变量：Δx=x_2-x_1 2. 求函数值的改变量： 3. 求比值： 6 1、函数 的平均变化率为 ______，也就是说自变量每增加 1 个单位，函数值将 ______ 个单位。 对点体验 解析：这是一次函数，平均变化率就是斜率 。斜率为负，表示函数值随自变量增加而减小。 答案：-2；减小 2 2、如图，函数 在 上的平均变化率为（ ） 解析：从图像中读取端点坐标 f(1)=3，f(3)=1。代入公式：=-1。 答案：B. -1 3、已知函数 ，分别计算在下列区间上的平均变化率：(1) ；(2) 。 对点体验 解析： (1) ，。平均变化率 = 。 (2) ，。平均变化率 = 。 答案：(1) 7；(2) 19 目标二：平均变化率的应用 应用 知识讲解 互动探究 新课引入 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度及膨胀率、经济效益等。找准自变量、因变量和相应增量是解题的关键。 航天飞机发射后的一段时间内，t 时刻的高度 h(t)=5+30+45t+4，其中 h 的单位为 m，t 的单位为 s。 (1) h(0),h(1) 分别表示什么？ (2) 求第 内高度的平均变化率。 【答】 (1) h(0) 表示航天飞机未发射时的高度，h(1) 表示航天飞机发射 1 s 后的高度。 (2) 80。 即第 1 s 内高度的平均变化率为 80 m/s。 10 应用 知识讲解 互动探究 新课引入 如图 ，水经过吸管从容器甲中流向容器乙中， s 后容器甲中水的体积（单位：cm³），则第一个 10 s 内 的平均变化率为（ ）。 A. B. C. D. 【解】 第一个 10 s 内 的平均变化率为 ，故选 D。 11 目标三：平均变化率的大小比较 比较 知识讲解 互动探究 新课引入 平均变化率是一个重要概念，一方面可以有效地刻画函数增减的快慢，另一方面在社会生活中也有着广泛的应用。 我们可以依据其平均变化率的大小，选择适当的函数模型来刻画某些生活中的现象，从而有利于对现象进行深入的研究。 13 (1) 函数 y=f(x)=3+2 在区间 上的平均变化率为______；当 =2,Δx=0.1 时，平均变化率的值为______。 (2) 已知函数 f(x)=2x+1,g(x)=，分别计算这两个函数在 [1,2] 上的平均变化率，并比较它们的大小。 对点体验 【解】 (1) 函数 在区间 上的平均变化率为 当 时，函数 在区间 上的平均变化率为 。 (1) 函数 y=f(x)=3+2 在区间 上的平均变化率为______；当 =2,Δx=0.1 时，平均变化率的值为______。 (2) 已知函数 f(x)=2x+1,g(x)=，分别计算这两个函数在 [1,2] 上的平均变化率，并比较它们的大小。 对点体验 函数 在区间 上的平均变化率为 。 在区间 上的平均变化率为 。 在 上的平均变化率大于 在 上的平均变化率。 目标四：平均变化率与函数值变化速度 研究 𝑔(𝑥)=2𝑥+3和ℎ(𝑥)=3𝑥−2 知识讲解 互动探究 新课引入 当 ， 时，容易算出 这就是说，自变量每增加1个单位， 将增加2个单位，而 将增加3个单位。 这也就意味着，即使 ，但当 足够大时，必将有 17 研究𝑓(𝑥)=−2𝑥−1 知识讲解 互动探究 新课引入 当 时，则 由此可知，在 内，自变量每增加1个单位，区间长不变的条件下，端点数值之和越大， 的函数值增加越快。 18 研究𝑓(𝑥)=−2𝑥−1 知识讲解 互动探究 新课引入 当 f(x)=-2x-1 时， f(x) 在区间 [1,2] 上的平均变化率为 1，在区间 [2,3] 上的平均变化率为 3。 从图象上来看，如图所示，线段 AB 所在直线的斜率小于线段 BC 所在直线的斜率。 19 研究y= 知识讲解 互动探究 新课引入 已知函数 y=，分别计算函数在区间 [1,2] 和 [2,3] 上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律。 设 ，因为 所以 在区间 上的平均变化率为 ； 在区间 上的平均变化率为 ； 不难看出，当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快。 20 目标五：指、对、一次函数增速比较 知识讲解 互动探究 新课引入 已知函数 ，，，分别计算这三个函数在区间 上的平均变化率，并比较它们的大小。 因为 又因为 时，有 因此在区间 上， 的平均变化率最大， 的最小。 22 知识讲解 互动探究 新课引入 思考一下： 根据指数函数 、幂函数 和对数函数 的图象，判断函数的增长变化？ 通过计算可以看出，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的无限增大， 的函数值增长会越来越快，而且比函数 和函数 的增长速度都快。 23 基于初等函数背景下的比较大小 线性函数模型 y=kx+b (k>0) 的增长特点是直线上升，其增长速度不变。 指数函数模型 y= (a>1) 的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越快。 对数函数模型 (a>1) 的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢。 幂函数 y= (n>0) 的增长速度介于指数函数和对数函数之间。 函数 和 的图像，如图 所示。设两个函数的图像交于点 ，，且 。 (1) 请指出示意图中曲线 ， 分别对应哪一个函数； (2) 结合函数图像，比较 ，，，，， 的大小。 对点体验 【答】 (1) 对应的函数为 ， 对应的函数为 。 (2) 。。 ，从图像上知，当 时，；当 时，，且 在 上是增函数，。 规律方法 对于 f(x)=,h(x)= 的单调性取决于 a 与 1 的大小，y= 中 n>0 时， 在 (0,+∞) 上是增函数。 增长性快慢的比较：f(x)= (a>1) 增长较快，有“爆炸式增长”之说，y= (n>0) 较 h(x)= (a>1) 增长要快，但要注意需 x 达到一定程度。 函数值的分析，要熟练掌握 f(x)=,h(x)= 中的函数值特征，y= 过定点 (1,1)，在第一象限一定有图像。 比较大小：。 对点体验 【答】 方法一：令函数 。在同一平面直角坐标系内作出上述三个函数的图像如图 ，然后作直线 ，此直线必与上述三个函数图像都相交。 由图像知：。 方法二：由对数函数知 。 又 ，而 ，故 。 已知 ， 满足 ，那么当 时， 的大小关系是什么？ 对点体验 【答】 。 函数 与 在 上均为减函数。 当 时，。 又 在 上是增函数。 对任意 均有 。 综上可知，当 时，，即 。 目标六：针对训练 举一反三 1. 我们常用函数 的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量 由 改变到 时，函数值的改变量为( D ) A. B. C. D. 解析： 由题意知，当 时，；当 时，。所以函数值的改变量为 。故选 D。 举一反三 2. 函数 在区间 上的平均变化率是() A. B. C. D. 解析： 由 ，得 ，， 所以 在区间 上的平均变化率为 。 故选 B。 举一反三 3. 下列函数中，增长速度越来越慢的是() A. B. C. D. 解析： 指数函数 先慢后爆炸性增长，对数函数 先快速增后慢慢增，幂函数 一直再增，后面没有变慢，一次函数 匀速增加。故选：B。 4. 下列函数中，随着 的增长，增长速度最快的是() A. B. C. D. 解析： 依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数模型，故随着 的增长， 的增长速度最快。故选 D。 举一反三 5. 函数 在 上的平均变化率为 ，在 上的平均变化率为 ，其中 ，则 ， 的大小关系是() A. B. C. D. 无法确定 解析： ，，。。又 ，，即 。故选 B。 举一反三 6. 使不等式 成立的 的取值范围是 解析： 如图，分别作出 的图象，结合图象可知 恒成立，当 时，；当 时，；当 时，； 所以不等式 成立的 的取值范围是 。 目标七：小结 学海拾贝 本节课我们主要学习了两件事： 平均变化率 几何意义是区间端点连线的斜率；它是刻画函数在区间上平均增长快慢的量，平均变化率越大，增长越快。 学海拾贝 三类典型增长模型（自变量足够大时） 模型 函数形式 增长特征 线性增长 一次函数 平均变化率恒定，匀速增长，直线上升 指数增长 增长越来越快，即指数爆炸，最终远超一次函数 对数增长 持续递增但越来越平缓，增长速度最慢 学海拾贝 一句话总结：自变量足够大时，指数增长 > 线性增长 > 对数增长。 最后提醒：这个大小关系是长期趋势，不代表在所有小区间上指数函数的值都更大，要结合区间、数据、图像综合判断，学会在实际问题中选择合适的增长模型。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $