(教案)第4章 4.4 幂函数-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.4　幂函数 学习任务目标 1．掌握幂函数的概念、图象和性质． 2．熟悉α＝1,2,3，，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点． 3．能利用幂函数的图象与性质解决综合问题. 1．如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，则所需的钱数y＝x元． 2．如果正方形的边长为x，则面积y＝x2. 3．如果正方体的棱长为x，体积为y，那么y＝x3. 4．如果一个正方形场地的面积为x，边长为y，那么y＝. 5．如果某人x 秒内骑车前进了1公里，骑车的速度为y公里/秒，那么y＝x－1. 知识点一　幂函数的概念 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数. [微训练] 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x是幂函数． (　　) √　提示：函数y＝x符合幂函数的定义，所以是幂函数． (2)函数y＝2－x是幂函数． (　　) ×　提示：幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数． (3)y＝2x不是幂函数． (　　) √　提示：形如y＝xα的函数为幂函数，所以y＝2x不是幂函数． 知识点二　幂函数的图象特征及性质 (1)幂函数在第一象限内的图象，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布． (2)所有的幂函数在区间(0, ＋∞)上都有定义， 因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1,1). (3)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． (4)如果α<0，则幂函数在区间(0, ＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴； 当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴． (5)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． [微训练] 1．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 A　解析：由幂函数的图象，可知其图象一定不经过第四象限． 2．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)＝________. 2　解析：设f(x)＝xα，所以α＝，所以f(4)＝4＝2. 幂函数 观察幂函数的解析式y＝xα，思考下列问题： 探究1：幂函数的解析式具有什么样的结构特征？ 提示：幂函数的解析式具有以下三个特征：(1)指数为常数；(2)底数为自变量，且自变量的系数为1；(3)系数为1，并且是一单项式． 探究2：要确定幂函数的解析式，关键需要确定哪个量？ 提示：要确定函数y＝xα的解析式，关键是需要确定指数α的值． 1．下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝2x4 B．y＝2x3－1 C．y＝ D．y＝x2 D　解析：y＝2x4中，x4的系数为2，故A不是幂函数；y＝2x3－1不是y＝xα的形式，故B不是幂函数；y＝＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数；只有D中的函数y＝x2是幂函数． 2．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是幂函数，则m＝(　　) A．2　 B．1　 C．3　 D．0 D　解析：由题意可知m＋1＝1，即m＝0. 3．幂函数的图象过点(4,2)，则该幂函数的解析式是(　　) A．f(x)＝x－1　 B．f(x)＝x C．f(x)＝x2　 D．f(x)＝x3 B　解析：设f(x)＝xα，则4α＝2，所以α＝.所以f(x)＝x.故选B. 幂函数性质的应用 探究1：幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 探究2：幂函数y＝xα中，α的取值是如何影响函数的奇偶性的？ 提示：设f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z且m，n互质)，则 ①当n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称； ②当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称； ③当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限． 【例1】(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b＜a＜c　　 B．a＜b＜c C．b＜c＜a　　 D．c＜a＜b A　解析：a＝2＝16，c＝25，由幂函数y＝x的单调性，a＜c.a＝2＝16，b＝4＝16，根据指数函数y＝16x的单调性，得a＞b，所以b＜a＜c. 【变式探究】将本例中的“b＝4”改为“b＝2”，试比较三个数的大小． 解：a＝2＝16，b＝2＝128，c＝25，由幂函数y＝x的单调性，知a＜c＜b. (2)已知幂函数y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，则幂函数的解析式为________. y＝x－3(x≠0)　解析：因为 y＝(m2