(教案)第4章 4.3 指数函数与对数函数的关系-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.3　指数函数与对数函数的关系 学习任务目标 1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，清楚它们的图象间的对称关系． 2．会求简单函数的反函数． 3．能综合利用指数函数、对数函数的性质与图象解决问题. 回顾指数运算与对数运算，完成以下问题： 当a＞0，且a≠1时，有y＝ax⇔x＝logay. 知识点一　反函数的定义 (1)定义：一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数． (2)记法：y＝f－1(x)． [微训练] 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x的反函数是y＝logx． (　　) ×　提示：函数y＝x的反函数是y＝x(x>0)． (2)函数y＝log3x的反函数的值域为R .(　　) ×　提示：函数y＝log3x的反函数的值域是原函数的定义域，故y＝log3x的反函数的值域为(0，＋∞)． 知识点二　指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数. (2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图象关于直线y＝x对称． [微训练] 若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A．log2x　　 B． C．x　　 D．2x－2 A　解析：y＝ax的反函数为f(x)＝logax，则1＝loga2，所以a＝2.所以f(x)＝log2x. 知识点三　函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的关系 (1)图象：关于直线y＝x对称． (2)定义域、值域：y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同． (3)单调性：如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)是减函数. [微训练] 1．设函数f(x)＝(0≤x<1)的反函数为f－1(x)，则(　　) A．f－1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1 B．f－1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0 C．f－1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1 D．f－1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0 D　解析：因为y＝－＋1为减函数，由复合函数单调性知f(x)为增函数，所以f－1(x)单调递增，排除B，C；又f－1(x)的值域为f(x)的定义域，所以f－1(x)的最小值为0.故选D. 2．函数y＝x＋3的反函数为________. y＝x－3(x∈R)　解析：由y＝x＋3，得x＝y－3，x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3(x∈R)． 求函数的反函数 探究：如何判定函数存在反函数？ 提示：(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在． (2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在． (3)利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在． 【例1】求下列函数的反函数： (1)y＝x； (2)y＝5x＋1； (3)y＝x2(x≤0)． 解：(1)由y＝x，得x＝y，且y>0，所以f－1(x)＝x(x>0)． (2)由y＝5x＋1，得x＝，所以f－1(x)＝(x∈R)． (3)由y＝x2得x＝±.因为x≤0，所以x＝－.所以f－1(x)＝－(x≥0)． 求函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数． 解：由y＝0.2x＋1得x＝log0.2(y－1)，对换x，y得y＝log0.2(x－1)．因为原函数中x≤1，y≥1.2，所以反函数的定义域为[1.2，＋∞)，因此y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞)． 指数函数与对数函数图象之间的关系 探究：回顾指数函数与对数函数的性质，完成下表： 函数 指数函数y＝ax 对数函数y＝logax 定义域 R (0，＋∞) 值域 ________ ________ 单调性 0<a<1时，为________； a>1时，为________ 由上表可以看出，指数函数y＝ax与对数函数y＝logax中，一个函数的________是另一个函数的________，而且它们的________相同． 提示：(0，＋∞)　R　减函数　增函数　定义域(或值域)　值域(或定义域)　单调性 【例2】(1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝logax的图象只能是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D (2)当a>1时，在同一直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是图中的(　　) 　　　　　 A　　　　　　　　 B