(教案)第4章 4.2 4.2.3 第2课时 对数函数性质-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

第2课时　对数函数性质 学习任务目标 1．理解对数函数的性质． 2．会解决与对数函数结合的复合函数的单调区间、值域、奇偶性问题. 对数型复合函数的定义域、奇偶性问题 【例1】(1)函数f(x)＝＋lg (3x＋1)的定义域是________. (2)已知f(x)的定义域为[0,1]，则函数f((3－x))的定义域为________. (1)　(2) 解析：(1)由解得－<x<1，所以函数的定义域是. (2)在f(x)中x∈[0,1]，所以0≤(3－x)≤1，所以≤3－x≤1，解得2≤x≤.所以函数f((3－x))的定义域为. 【例2】函数f(x)＝lg(x＋)是(　　) A．偶函数 B．奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 B　解析：已知函数的定义域是R，关于原点对称，因为f(－x)＝lg (－x)＝lg＝－lg(＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 【变式探究】本例中将函数变为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，试判断函数f(x)的奇偶性． 解：由解得－1<x<1，所以函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称，所以f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． 1．若f(x)＝，则f(x)的定义域为(　　) A.　 B. C. D.(0，＋∞) A　解析：由题知即解得－＜x＜0.所以f(x)的定义域为.故选A. 2．函数f(x)＝x2lg 的图象(　　) A．关于x轴对称　　 B．关于原点对称 C．关于直线y＝x对称　 D．关于y轴对称 B　解析：因为函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}，关于原点对称，又f(x)＝x2lg ，f(－x)＝x2lg＝x2lg＝－x2lg＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，即其图象关于原点对称． 对数型复合函数的值域 【例3】求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝(3＋2x－x2)． 解：(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2.所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)由3＋2x－x2>0得定义域为(－1,3)．设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.因为u>0，所以0<u≤4.又y＝u在(0，＋∞)上为减函数，所以u≥4＝－2，所以y＝(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)． 已知函数f(x)＝log2. (1)求函数f(x)的定义域并证明该函数是奇函数； (2)若当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝f(x)＋log2(x－1)，求函数g(x)的值域． 解：(1)因为函数f(x)＝log2，所以>0，解得x<－1或x>1，则函数的定义域为{x|x<－1或x>1}，且定义域关于原点对称，因为f(－x)＝log2＝log2＝－log2＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (2)因为g(x)＝f(x)＋log2(x－1)＝log2＋log2(x－1)＝log2(x＋1)，所以g(x)是增函数．当x>1时，log2(1＋x)>log22＝1，故当x∈(1，＋∞)时，g(x)>1，即函数g(x)的值域为(1，＋∞)． 对数型复合函数的单调性及单调区间 探究：判断函数y＝logaf(x)的单调性时，要特别注意的量是什么？ 提示：要特别关注a，分清a与1的大小关系． 【例4】若函数f(x)＝ln(x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，4]　 B． C． D． C　解析：设g(x)＝x2－ax＋1，则要使f(x)＝ln(x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可得即得a≤，即实数a的取值范围是. 【例5】求下列函数的单调区间： (1)y＝(x2＋4x－12)； (2)y＝(log2x)2－4log2x＋9. 解：(1)由题意知x2＋4x－12>0，依据二次函数y＝x2＋4x－12的图象可得x>2或x<－6，且y＝x2＋4x－12在(－∞，－6)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．又y＝x是(0，＋∞)上的减函数，所以依据复合函数的单调性知所求函数的单调递增区间是(－∞，－6)，单调递减区间是(2，＋∞)． (2)令t＝log2x，且t＝log2x在(0，＋∞)上单调递增．又y＝t2－4t＋9＝(t－2)2＋5，在[2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，由t＝log2x≥2得x≥4，由t＝log2x<2得0＜x＜4，故所求函数的单调递增区间为[4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)． 1．已知函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减，则a的取值范围