(教案)第4章 4.2 4.2.2 对数运算法则-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.2.2　对数运算法则 学习任务目标 1．理解并掌握对数的运算法则． 2．理解并掌握换底公式． 3．能运用对数的运算法则及换底公式进行计算或证明. 1．指数式ax＝N化为对数式为logaN＝x. 2．实数指数幂的运算性质： (1)a＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； (2)aman＝am＋n(a>0)； (3)＝am－n(a>0)； (4)(am)n＝amn(a>0)； (5)(ab)y＝ayby(a>0，b>0)． 知识点一　对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1,2，…，k)． (2)logaMα＝αlogaM. (3)loga＝logaM－logaN. [微训练] 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差． (　　) √　提示：根据对数的运算性质可知(1)正确． (2)loga(xy)＝logax·logay. (　　) ×　提示：根据对数的运算性质可知loga(xy)＝logax＋logay(a>0且a≠1，x>0，y>0)． (3)loga(－2)3＝3loga(－2)． (　　) ×　提示：公式logaMα＝αlogaM(α∈R)中的M应为大于0的数． (4)lg (x＋y)＝lg x＋lg y． (　　) ×　提示：令x＝y＝1，则lg (x＋y)＝lg 2＞lg 1＝0，而lg x＋lg y＝0，不成立． (5)log2(16－8)＝log216－log28. (　　) ×　提示：等式的左边＝log2(16－8)＝log28＝3，右边＝log216－log28＝4－3＝1，左边≠右边． 知识点二　换底公式 logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)． 特别地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1)． [微训练] 1．若实数a，b满足3a＝4b＝12，则＋＝(　　) A．　　　 B． C．　　　 D．1 D　解析：3a＝4b＝12，即有a＝log312，b＝log412，则＋＝＋＝log123＋log124＝log1212＝1. 2．log35·log56·log69＝________. 2　解析：原式＝··＝＝＝2. 对数运算法则的应用 观察对数的运算法则： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMα＝αlogaM.其中a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，α∈R，思考下列问题： 探究1：对于法则(1)，当M，N同号时成立吗？ 提示：不一定成立．如lg[(－5)(－3)]有意义，而lg(－5)、lg(－3)无意义． 探究2：性质在逆用时，还需要M>0，N>0吗？如loga(MN)＝logaM＋logaN的逆用． 提示：不需要，因为logaM，logaN有意义，就有M>0，N>0. 1．计算lg 2＋lg 5＋2log510－log520的值为(　　) A．21　　　 B．20　　　 C．2　　　 D．1 C　解析：lg 2＋lg 5＋2log510－log520＝1＋log5＝1＋1＝2. 2．如果lg 2＝m，lg 3＝n，则等于(　　) A.　 B. C. D. C　解析：因为lg 2＝m，lg 3＝n，所以＝＝＝. 3．计算： (1)log345－log35＝________； (2)log2(23×45)＝________； (3)＝________； (4)log29·log38＝________. (1)2　(2)13　(3)　(4)6 解析：(1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2. (2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2213＝13log22＝13. (3)＝＝＝＝＝. (4)log29×log38＝log232×log323＝2log23×3log32＝6log23×＝6. 对数换底公式 请观察logaN＝，思考下列问题： 探究1：在对数的换底公式中，底数c的取值有何要求？一般情况下，c常取何值？ 提示：公式中的底数c可以是任意大于0且不等于1的实数，通常情况下为了方便计算，我们常取c为10，即把对数换成常用对数计算． 探究2：logab与logba底数不同，它们之间有什么关系？ 提示：由对数的换底公式得logab＝＝，所以两者是互为倒数关系． 【例1】已知3a＝4b＝c，且＋＝2，求实数c的值． 解：由3a＝4b＝c，得a＝log3c，b＝log4c，所以＝＝logc3，＝＝logc4.