(教案)第4章 4.2 4.2.1 对数运算-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.2　对数与对数函数 4.2.1　对数运算 学习任务目标 1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化． 2．理解对数的底数和真数的取值范围． 3．掌握对数的基本性质及对数恒等式． (1)5x＝625，则x＝4. (2)2x＝，则x＝－6. (3)27x＝，则x＝－. 知识点一　对数的概念及常用对数与自然对数 1．对数的概念 (1)定义：在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，幂指数b称为以a为底N的对数. (2)记法：b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数. (3)对数与指数间的关系 当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN. 2．两种特殊的对数 名称 定义 常用对数 以10为底的对数称为常用对数，并把log10N简写为lg N 自然对数 e是一个重要的常数，是无理数，它的近似值为2.718 28.以e 为底的对数称为自然对数，并把logeN通常简写为ln N [微训练] 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4. (　　) ×　提示：因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错． (2)对数式log32与log23的意义一样． (　　) ×　提示：log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错． (3)因为1a＝1，所以log11＝a. (　　) ×　提示：因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(3)错． (4)log(－2)(－2)＝1. (　　) ×　提示：因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，真数应大于0，所以(4)错． 知识点二　对数的性质 (1)负数和0没有对数，即logaN中N必须大于零． (2)1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1). (3)底数的对数为1，即logaa＝1(a>0，且a≠1). (4)对数恒等式是alogaN＝N(a＞0，且a≠1)． [微训练] 1．4log43＝3. 2．ln 1＝0，lg 10＝1. 对数的概念 观察ab＝N与b＝logaN，思考下列问题： 探究1：为什么对数logaN只有在a＞0，a≠1且N>0时才有意义？ 提示：当a＜0时，N为某些值时，b的某些值不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log－23不存在，为此规定a不能小于零；再由指数函数的定义可知，N不能小于或等于零．若a＝0，且N≠0时，logaN不存在，如0－2没意义，所以规定a≠0.若a＝1，且N不为1时，logaN不存在，如1x＝2不成立，所以规定a≠1. 探究2：对数定义与指数定义的相同点是什么？ 提示：相同点是a＞0，a≠1，N＞0. 1．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是(　　) A．15　　 B．75　　 C．45　　 D．225 C　解析：因为loga3＝m，loga5＝n，所以am＝3，an＝5，所以a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45. 2．对数式log(a－2)(5－a)中实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，5)　　 B．(2,5) C．(2,3)∪(3,5)　　 D．(2，＋∞) C　解析：要使对数式log(a－2)(5－a)有意义，则解得a∈(2,3)∪(3,5)． 3．如果a5＝b(a>0且a≠1，b>0)，则(　　) A．logab＝5　　 B．loga5＝b C．log5a＝b D．log5b＝a A　解析：如果a5＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则logab＝5. 4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．log39＝2与9＝3 C．8＝与log8＝－ D．log77＝1与71＝7 B　解析：对于A：e0＝1可化为0＝loge1＝ln 1，所以A正确；对于B：log39＝2可化为32＝9，所以B不正确；对于C：8＝可化为log8＝－，所以C正确；对于D：log77＝1可化为71＝7，所以D正确． 指数式与对数式的互化求值 请观察下列等价关系ab＝N⇔b＝logaN，思考下列问题： 探究1：式子ax＝N与x＝logaN中，a，N的取值如何？ 提示：a＞0且a≠1，N＞0. 探究2：a，b，N这三个字母在ab＝N与b＝logaN中分别叫什么？ 提示： 式子 名称 a b N 指数式 ab＝N 底数 指数 幂 对数式 b＝logaN 底数 对数 真数 【例1】 求下列各式中x的值． (1)logx27＝；(2)log2x＝－； (3)x＝log27；(4)x＝16. 解：(1)由logx27＝，可得x＝27，所以x＝27＝(33)＝32＝9. (2)由l