重难点突破01 奔驰定理与四心问题（五大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破01 奔驰定理与四心问题 目录 技巧一．四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点． 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为． 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故． 技巧三．三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 技巧四．常见结论 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上． 为的内心． （2）外心：为的外心． （3）垂心：为的垂心． （4）重心：为的重心． 题型一：奔驰定理 例1．（2023·全国·高一专题练习）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·全国·高一专题练习）若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式2．（2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（     ）    A．若，则O为△ABC的重心 B．若，则 C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 变式3．（多选题）（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，且，则 C．若，则为的垂心 D．若为的内心，且，则 变式4．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的重心，则 题型二：重心定理 例4．（2023·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有______． ①   ② ③     ④ 例5．（2023·全国·高一专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）． ①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中； ②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中； ③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中； ④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中； ⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中． 例6．（2023·河南·高一河南省实验中学校考期中）若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___． 变式5．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5，，则______． （2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，则______． （3）已知△ABC的重心为O，且