直线与椭圆的位置关系 讲义——2024届高三新高考数学一轮复习

直线与椭圆的位置关系 知识梳理 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程. Δ>0⇒有两个公共点；Δ=0⇒有一个公共点；Δ<0⇒有0个公共点. 典例1．直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 练习1.直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 典例2.直线与椭圆有两个公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习2.直线与椭圆有两个公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例3．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（    ） A． B． C． D． 练习3.直线与椭圆相交于两点,则等于(   ) A． B． C． D． 典例4．直线y＝x+m与椭圆交于A，B两点，若弦长，则实数m的值为（    ） A． B．±1 C． D．±2 练习4.直线交椭圆于两点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 典例5.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 练习5.已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（　　） A． B． C． D． 典例6.已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习6.已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 典例7.椭圆的焦点为，，点M在椭圆上，且，则M到y轴距离为（    ） A．3 B． C． D． 练习7.已知椭圆上，过F1的直线l与椭圆E交于A、B两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率k的值为（    ） A． B． C． D． 典例8.已知椭圆，若直线经过，与椭圆交于、两点，且，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 练习8.直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于、两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 典例9.已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为． (1)求椭圆C的标准方程． (2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 练习9.已知，是椭圆E：上的两点． (1)求椭圆E的方程． (2)若直线l与椭圆E交于C，D两点（C，D均不与点A重合），且以线段CD为直径的圆过点A，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 典例10.已知椭圆的左､右焦点分别为､，M是椭圆的上顶点，且是面积为1的等腰直角三角形. (1)求椭圆E的方程； (2)已知直线与椭圆E交于A，B两点，判断椭圆E上是否存在点P，使得四边形OAPB恰好为平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 练习10.已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标. 典例11.已知椭圆的长轴的两个端点分别为离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线垂直的直线记为l，直线交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值． 练习11.已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由. 典例12.已知椭圆经过点，其右焦点为. (1)求椭圆的离心率； (2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值. 练习12.已知椭圆经过点，其右焦点为. (1)求椭圆的离心率； (2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值. 典例13.已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆上一点，且面积的最大值为1. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线交椭圆于M，N两点，求的取值范围. 练习13.已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若不过点P的直线l与椭圆C交于A、B两点，且原点O到直线l的距离为1，求的取值范围． 备选练习 一、单选题 1．已知曲线上任意一点满足，则曲线上到直线的距离最近的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【解析】 设,则, 点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 曲线的方程是： 设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.由