第02讲 平面向量的数量积及其应用（七大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第02讲平面向量的数量积及其应用 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义． （2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义． （3）了解平面向量基本定理及其意义 （4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 2023年I卷第3题，5分 2023年II卷第13题，5分 2023年甲卷（理）第4题，5分 2022年II卷第4题，5分 平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视． 预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点． 知识点一．平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 知识点二．数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 知识点三．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 知识点四．数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 知识点五、向量中的易错点 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且． （2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有． 当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但． （3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项． （4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且 【解题方法总结】 （1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． （2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． （3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． （4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． （5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等． 题型一：平面向量的数量积运算 例1．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（    ） A．12 B．8 C．-8 D．2 例3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（　  ） A． B．1 C． D．2 变式1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量，且，若，，则（    ） A．1 B．12 C．或2 D．或1 变式2．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·全国·高三专题练习）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 变式4．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）.    A． B． C． D． 变式5．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（    ） A．3 B．15 C．或15 D．3或15 变式6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（