练习五 平面向量与复数-2024届高三数学一轮复习

练习五 平面向量与复数 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2023·南京模拟)已知复数z的共轭复数为,若zi=2+i(i为虚数单位),则复数z的虚部为( ) A.-i B.I C.- D. 2.(2023·盐城模拟)若复数z满足z(1-i)=|+i|,则在复平面内,z的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量a=(1,3),b=(2,-4),则b在a上的投影向量是( ) A. B. C.(-1,-3) D.(1,3) 4.在△ABC中,点M为边AB上一点,2=,若3=λ+μ,则μ等于( ) A.3 B.2 C.1 D.-1 5.已知z∈C,且|z|=1,则|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值是( ) A.2-1 B.2+1 C. D.2 6.复数z1=3+2i(i为虚数单位)是方程z2-6z+b=0(b∈R)的根,则b的值为( ) A. B.13 C. D.5 7.在△ABC中,∠ABC=,AC的中点为D,且BD=1,则BA·BC的最大值为( ) A.2 B.3 C.2 D.4 8.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2BC=2CD=2,P是腰AD上的动点,则|2-|的最小值为( ) A. B.3 C. D. 二、选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求) 9.(2023·苏州模拟)已知i为虚数单位,以下四个说法中正确的是( ) A.i+i2+i3+i4=0 B.复数z=3-i的虚部为-i C.若z=(1+2i)2,则复平面内对应的点位于第二象限 D.已知复数z满足|z-1|=|z+1|,则z在复平面内对应的点的轨迹为直线 10.已知不相等的复数z1,z2,则下列说法正确的是( ) A.若z1+z2是实数,则z1与2不一定相等 B.若|z1|=|z2|,则z=z C.若z1=2,则z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称 D.若z+z>0,则z>z 11.如图所示,在正六边形ABCDEF中,下列说法正确的是( ) A.-= B.+= C.·=||2 D.在上的投影向量为 12.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是( ) A.若=+,则点M是△ABC的重心 B.若=2-,则点M在线段BC的延长线上 C.若2=x+y,且x+y=1,则△MBC的面积是△ABC面积的 D.已知平面向量·=·,=λ,则△ABC为等腰三角形 三、填空题(本题共4小题) 13.已知向量a是单位向量,向量b=(,),且(a+2b)·(a-b)=-6,则a与b的夹角为_. 14.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为_. 15.若复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为_. 16.如图,已知P是半径为2,圆心角为的一段圆弧AB上的一点,=2,则·的最小值为_. 四、解答题(本题共6小题) 17.已知a,b,c是同一平面内的三个不同向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=2,且a∥c,求c; (2)若|b|=2,且|ka+b|=|a-kb|(k>0),求a·b的最小值,并求出此时a与b夹角的余弦值. 18.已知关于x的不等式x(x+a)-2<0的解集为(-1,b). (1)求实数a,b的值; (2)若z1=a+bi,z2=cos α+isin α,且z1z2为纯虚数,求tan α的值. 19.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=1,AB=AD=3,E是BC的中点,设=a,=b. (1)用a,b表示; (2)若=2,AE与CF交于点O,求cos∠AOF. 20.已知复数z满足|z|=,z2的虚部为2. (1)求复数z; (2)设z,z2,z-z2在复平面上对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积. 21.(2023·扬州模拟)如图,在平面四边形ABCD中,∠A=120°,AB=AD,BC=2,CD=3. (1)若cos∠CBD=,求sin C; (2)记四边形ABCD的面积为S,求S的最大值. 22.已知a=,b=,c=,且x∈. (1)求a·b,a·c及|a+b|; (2)求函数f(x)=2a·c+|a+b|的单调递增区间; (3)若函数g(x)=a·b+2k|a+b|的最小值是-,求k的值. 参考答案 1.答案 D 解析 设z=a+bi,a,b∈R,则=a-bi, ∵zi=2+i, ∴(a+bi)i=2(a-bi)+i, -b+ai=2a+(1-2b)i, 即解得 ∴z=-+i, 故复数z的虚部为. 2. 答案 D 解析 ∵复数z满足z(1-i)=|+i|==2, ∴z==1+i, 则在复平面内,z的共轭复数1-i对