第二十一章一元二次方程 复习讲义2023-2024学年人教版数学九年级上册

2023-2024学年人教版九年级上册第二十一章一元二次方程讲义 章归纳与总结 本章知识结构图 一元二次方程的概念 一元二次方程的根 直接开平方法 配方法 解一元二次方程的方法 公式法 一元二次方程 因式分解法 △＞0，有两个不相等的实数根 根的判别式 △=0， 有两个相等的实数根 △＜0，没有实数根 根与系数的关系 实际问题与一元二次方程 章末知识梳理 知识要点 主要考点 技巧方法 1.一元二次方程及其根的概念。理解一元二次方程根的概念可与根的判别式，根与系数的关系联系起来。 2.一元二次方程的基本解法。一元二次方程的解法是全章的重点。在具体解方程时，要注意灵活选用四种基本解法， 一是直接开平方法， 二是配方法， 三是公式法， 四是因式分解法。 3.一元二次方程的应用。 21.1 一元二次方程 考点1 一元二次方程概念 考点2一元二次方程的一般形式 考点3 一元二次方程的根 21．2解一元二次方程 考点1：一元二次方程的四种基本解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 考点2；配方法 考点3：根的判别式 考点4：根与系数的关系 21．3 实际问题与一元二次方程 考点1：面积问题 考点2：变化率问题 考点3：经济问题 考点4：生活中其他问题 学习技巧与方法 1.注意学会概念，深刻理解概念 2.理解降次的思想在解一元二次方程中的运用 3.熟练掌握解一元二次方程的方法和灵活选用 4.实际问题中注意检验根的合理性 5.数学思想方法的运用 （1）化归与转化思想 （2）分类讨论思想 （3）降次思想与换元思想 1． 解题技巧与方法 1.判断一元二次方程的方法 2.化一般形式方法 3.整体代入求值方法 4.配方法求值 5.公式法分解二次三项式 6.利用根的判别式判断根的情况 7.运用根与系数的关系解决问题方法 本章专题归纳 专题一 配方法的拓展与应用 配方法，在数学上是指将代数式通过凑配等手段，得到完全平方形式，再利用诸如完全平方项是非负数这一性质达到增加题目条件等目的的一种数学方法，同一个式子可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式。配方的对象也具有多样性，数、字母、式、函数关系等都可以进行配方。配方法在解题中有广泛的应用，它可用于无理式证明、化简、求代数式的值、解方程、解不等式、求最值、证明条件等式等。 1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用 在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。 例1、求二次根式中字母的取值范围 分析：根据二次根式的定义，必须被开方数大于等于零，再观察被开方数可以发现可以利用配方法求得。 解： 因为无论取何值，都有。 所以的取值范围是全体实数。 点拨：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。 2．配方法在化简二次根式中的应用 在二次根式的化简中，也经常使用配方法。 例2、化简 分析：题中含有两个根号，化简比较困难，但根据题目的结构特征，可以发现可以写成，从而使题目得到化简。 解： 点拨：的题型，一般可以转化为（其中）来化简。 3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用 在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。 例3、不管取什么实数，的值一定是个负数，请说明理由。 分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒小于0，说明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“+负数”的形式。 解： ∵，∴。 因此，无论x取什么实数，的值是个负数。 点拨：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“+负数”的形式来证明。 例4．用配方法证明:无论x为何实数，代数式的值恒大于零。 分析：要证代数式的值恒大于零，只要通过配方把它化为“+正数”的形式即可。 解:∵==＞0 ∴无论x为何实数，代数式的值恒大于零。 点拨：证明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成 “+正数”的形式来证明。 4．配方法在解某些二元二次方程中的应用 解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还