三角函数最值问题-2024高三二轮专题复习讲义

二轮专题9：三角函数最值题型与策略 策略一：分离常数求最值 适用题型：分子分母同名齐一次型 例1求函数的值域. 策略二：基本不等式求最值 适用题型：分子分母同名非齐次型 例2求函数的最小值. 变式2求函数的最小值. 策略三：转化为斜率求最值 适用题型：分子分母异名齐一次型 例3求函数的最大值与最小值. 变式3.1求函数，的最大值与最小值. 变式3.2求函数的最大值与最小值. 变式3.3求函数的最小值. 变式3.4求函数的最小值与最大值. 变式3.5求函数的最小值与最大值. 变式3.6函数的值域是 . 【拓展】以上题目，如果题目中θ∈R，则有一通法——反解. 【启示】这道题启示我们：三角函数这部分内容包含大量的公式，经由公式运算，异名可化为同名，非齐次可化为齐次，所以学习本章内容万不可流于表面，生搬硬套题型&解法，要学会在本章的基础上变通，本章提供的题型&解法&逻辑是你将来变通的原料与灵感. 策略四：求导求最值 适用题型：分子分母异名非齐次型 例4求函数的最小值. 策略五：“趋同”求最值 【解题总逻辑】 处理三角函数问题的核心在于“化简消元”，而化简消元的核心在于“趋同”，“趋同”包括三个角度： 函数“名”的趋同；函数“角”的趋同；函数“次”的趋同 谁向谁趋同？可以是问题向条件趋同，也可以是条件向问题趋同.如何实现趋同？借助“趋同等式”. 我们常用的趋同等式有： ①辅助角公式：asinθ+bcosθ=sin(θ+φ)(其中tanφ=)； ②三角恒等变换公式；③(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθsinθ；④； ⑤在△ABC中，sinA=sin(B+C)；⑥在△ABC中，tanA=－tan(B+C)； ⑦sin²θ+cos²θ=1； ⑧正弦平方差公式：sin²A－sin²B=sin(A+B)sin(A－B) 简证：sin²A－sin²B=sin²A－sin²Asin²B－sin²B+sin²Asin²B =sin²A(1－sin²B)－sin²B(1－sin²A)=sin²A·cos²B－sin²B·cos²A =(sin Acos B+sin BcosA)·(sin Acos B－sin Bcos A)=sin(A＋B)sin(A－B) ⑨在斜三角形中：tan A+tan B＋tanC=tan Atan B tanC 简证：tan A=－tan(B+C)= 所以tan Atan BtanC－tan A=tan B+tanC ⑩万能代换公式：设，则 简证：设，则 分子分母同除以，得 tan A，cos A的证法同上. 尽管我们无法穷尽所有的趋同等式，但是趋同思想已根植于脑…… 策略5.1：借助辅助角公式趋同 例5求函数的最大值. 变式5设当时，函数取得最大值，则________． 策略5.2：借助三角恒等变换趋同 例6若是锐角三角形的最小内角，则函数的值域为______. 策略5.3：借助(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ趋同 例7求函数的最大值和最小值. 变式7设，则的最大值为________. 策略5.4：借助sinA=sin(B+C)趋同 例8在锐角中，若则的最小值为. 变式8.1在中，已知，则的最小值为 . 变式8.2已知，且，则的最大值为_____. 变式8.3在中，的最大值为_____. 变式8.4在中，若，则的最大值为_____. 变式8.5已知锐角中，若，则的最小值是_____. 策略5.5：借助tanA=－tan(B+C)趋同 例9在斜三角形中，，则的最大值是______. 策略5.6：凑正切趋同 例10求函数的最小值. 变式10.1求函数的最小值. 变式10.2已知为锐角,且，则的最大值是________. 策略5.7：借助正弦平方差公式趋同 例11在锐角三角形中，已知，则的最小值为_____. 策略5.8：借助sin²θ+cos²θ=1趋同 例12已知函数则的最小值是______. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 二轮专题9：三角函数最值题型与策略（答案） 例1【解析】（策略：分离常数） ，因为sinθ∈[˗1,1]，所以y∈[,1]. 例2【解析】（策略：基本不等式） 因为0<θ<π，所以sinθ∈(0,1]，所以 当sinθ=1()时取到最值. 变式2【解析】（策略： 低次换元+基本不等式) 因为0<θ<π，所以sinθ∈(0,1]，令t=sinθ+1∈(1,2]，则，当时取到最值. 例3【解法一】（策略：数形结合，转为斜率） 原式等价于动点P(cosθ,sinθ)到一定点A(3,2)的斜率，所以问题等价于求PA两点连线斜率的最大值与最小值. 求解动点问题的关键在于清晰动点轨迹，易知P点轨迹方程为x²＋y²=1，以形