立体几何之轨迹问题-2024高三二轮复习专题讲义

二轮专题8：立体几何之轨迹问题 对于立体几何空间轨迹的问题，研究的主要还是解析几何中的几种曲线：直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线 基于这种认识，常规的思路有如下四种： 几何法：根据平面的性质进行判定； 定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线定义判定，或用代数法进行计算； 截面法：根据丹德林双球进行判定； 特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除. 【典例】1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用个平面去截圆锥可以得到椭圆(其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点)，实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性.在生活中，有一个常见的现象用手电简斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆，这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面.如图，在地面的某个点A1正上方有个点光源A，将小球放置在地面上，使得AA1与小球相切.若AA1 =5，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 一、几何法 例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱BC的中点，点N在四边形CDD1C1内运动，且总有MN⊥A1C，则点N的轨迹为( ) A.线段 B.圆的一部分 C.圆的一部分 D.双曲线的一部分 二、定义法 例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在平面A1BCD1内运动，且点P到AB1和BC的距离相等，则动点P的轨迹为( ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 三、截面法 例3线段AB是平面α的斜线段，点A为斜足，若点P在平面α内运动，且∆ABP的面积为定值，则动点P的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行线 例4已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面BB1C1C中，且满足∠PD1D=∠BD1D，则动点P的轨迹所在曲线为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 例5设B，C为定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上且sin∠ABC=，则动点A的轨迹为( ) A.圆或椭圆 B.抛物线或双曲线 C.椭圆或双曲线 D.以上均有可能 四、特殊值法 例6在三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则点P的轨迹与∆ABC组成的图形有可能是( ) A. B. C. D. 二轮专题8：立体几何之轨迹问题（答案） 例1【答案】A 【解析】因为A1C为定直线，点N在运动的过程中若保持MN与A1C的垂直关系不变，则MN必在经过点M且与A1C垂直的平面内，故点N在该平面与已知平面的交线上，交线显然为线段.故本题选A. 【总结】其实，这类问题，对动点运动过程中元素性质的解析，是非常重要的. 抓住变化过程中的不变关系，是最关键的. 例2【答案】D 【解析】因为AB1⊥面A1BCD1，故过面A1BCD1内点P作AB1垂线，垂足一定是图中的交点G了.此时，题给条件即为动点P到定点G的距离与到直线BC的距离相等，由圆锥曲线定义知其轨迹为抛物线.故本题选D. 【总结】说起轨迹，我们首先想到的当是解析几何中的轨迹问题，还有不少求轨迹方程的方法吧？那么空间与解析几何中轨迹的唯一区别，就是空间与平面的区别了，将涉及到的空间元素，尽可能迁移到同一平面内，用我们最拿手的解析几何方法去处理. 所以，数学解题过程中，化归意识才是最至关重要的. 例3【答案】B 【解析】因为线段AB是固定的，三角形PAB的面积为定值，实际上就是说点P到直线AB的距离为定值.因此，点P应该在以AB为轴线的圆柱侧面上.所以，点P的轨迹，应当就是圆柱的侧面与平面α的交线了，显然为椭圆.故本题选B. 【总结】其实，关于轨迹问题最常规的处理，是逐步缩小动点的活动范围，直至最后确定它的运动轨迹.就像此题的思路，先确定点在圆柱上，再确定在平面与圆柱的交线上. 当然，你首先得知道：平面内到定直线的距离为定值的点的轨迹是两平行线，空间内到定直线的距离为定值的点的轨迹为圆柱侧面. 例4【答案】C 【解析】与定直线夹角为定值的点，一定在以该直线为轴线的圆锥侧面上.那本题中的动点P，就应该是面BB1C1C与该圆锥的交线了.由丹德林双球模型可知交线为双曲线一部分.故本题选C. 5【答案】D 【解析】动点A不仅在平面内，同时也在以BC为轴线的一个圆锥侧面上.由丹德林双球模型可知，那就是几种圆锥曲线都有可能了.因此就选了D. 例6【答案】D 【解析】显然，PM ≥ PO,则PM ≥ PH，则在面ABC内，点P应在∠ABC的平分线和AB之间. 从四个选项看，应选D. 【总结】本题和前面题最大的不同，在于实在是想不出来轨迹是谁了，那我们只能尽可能的解析其特征，看看能不能用排除法或特殊值法了.作为考试来说，也是很好的思路