立体几何之折叠问题-2024高三二轮复习专题

二轮专题7：立体几何之折叠问题 一、理论基础 动态几何往往与求解几何要素的范围、最值、定值相关联 几何要素为什么会存在范围、最值、定值？ 首先因为有动点，其次因为动点有轨迹.有动点就会有变量，动点有轨迹，变量就会有范围、最值、定值.(若动点杂乱无章地动，也就无所谓范围、最值、定值了) 处理动态几何的关键在于找动点、定轨迹. 对于折叠问题中动点的轨迹我们有如下结论，以右图为例： 过折痕BD所对的折叠面上的点C作折痕的垂线，设垂足为E ，则点C在以E为圆心，C1 F E CE为半径的圆上运动. 折叠特征： (1)折线同侧的几何量和位置关系保持不变； 折线两侧的几何量和位置关系发生改变； (2)C在底面上的投影一定在线段C1F上 (3)面CBD绕BD形成两个同底的圆锥. 二、典型例题 例1在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿矩形对角线BD将∆BCD折起形成四面体ABCD. 在这个过程中，现在下面四个结论： ①在四面体ABCD中，当DA⊥BC时，BC⊥AC； ②四面体ABCD的体积的最大值为； ③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为； ④四面体ABCD的外接球体积为定值. 其中所有正确结论的编号为( ) A.①④ B.①② C.①②④ D.②③④ 例2如图，已知平面四边形ABCD， AB = BC = 3，CD = 1，AD =，∠ADC = 90°，沿直线AC将∆ACD翻折成∆ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是 . 例3 (多选)如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、AD的中点，将△ABF沿BF所在的直线进行翻折，将△CDE沿DE所在的直线迸行翻折，在翻折的过程中，下列说法正确的是( ) A.无论旋转到什么位置，A，C两点都不可能重合 B.存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60º C.存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90º D.存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90º 例4如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将∆ADE沿直线 DE翻转成∆A1DE. 若M必为线段A1C的中点，则在∆ADE翻转过程中: ①|BM|是定值； ②点M在圆上运动； ③一定存在某个位置，使DE⊥A1C； ④一定存在某个位置，使MB//平面A1DE. 其中正确的命题是( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 例5如图，在矩形ABCD中，BC = 2AB = 4，E为AD的中点，沿直线BE将∆ABE翻折成∆A′BE，使平面A′BE⊥平面BCDE.点M，N分别在线段BC，DE上，若沿直线MN将四边形MNDC向上翻折，使C与A′重合，则BM为 ，四棱锥A′- BMNE的体积为 . 例6如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC = 1，AB = AD =，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE = 30°，则cos∠FCB= . 二轮专题7：立体几何之折叠问题(答案) 例1【答案】C 【解析】 对于①：当DA⊥BC时，因为BC丄DC，所以BC丄面ADC.因为AC面ADC，所以BC丄AC ，即①正确； 对于②：，易知当面BCD丄面ABD时，.此时，即②正确； 对于③：如图，线面角的正弦值.当面BCD丄面ABD时等号成立，即③错误； 对于④：在翻折过程中，∆ABD和∆BCD始终是直角三角形，所以斜边BD的中点即为外接球球心，于是在旋转过程中球心、半径固定不变，所以外接球体积为定值，即④正确. 例2【答案】 【解析】构造辅助线+余弦定理 Step1.构造直线AC与BD′所成的角. 如图1所示，作D′E⊥AC，垂足为E，取AC的中点O， 因为AB = BC = 3，所以BO⊥AC，过点B作BF//AC，过点E作BO平行线交BF于点F，连接D′F. ∠FBD′为直线AC与BD′所成的角. 易知BF⊥面FED′，所以BF⊥FD′.于是 cos∠FBD′=. Step2.求余弦 ①先求BF. 在Rt∆ACD′中，，，， 所以.因为四边形BOEF为矩形，所以 ②再求D′B. ，则∠FED'为二面角D′-CA-B的平面角，设为θ. 在∆FED'中，由余弦定理得： 当cosθ=1时，取等号. 所以 所以直线AC与BD′所成角的余弦的最大值为 例3【答案】ABC 【解析】如图，过点A作AM⊥BF于M，过点C作CN⊥DE于N，在翻折过程中AF是以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的母线，同理，AB、EC、DC也可以看作相应圆锥的母线. 对于选项A：点A的轨迹是以M为圆心，AM为半径的半圆周，点C的轨迹是以N为圆心，CN为半径的半圆周，两圆周显然没有公共点，故A正确.