几何体的截面问题-2024高三二轮专题

二轮专题5：几何体的截面问题 一、作几何体截面的基本逻辑与具体操作 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3.作截面的一大思维误区：自我设限，忽略平面(直线)的无限延展性 4.作截面的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不在同一平面的三点确定一个平面 ②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 5.作截面的具体步骤 step.1找截点 方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 注①：方式1中被延长的截小面上的直线，可以位于截小面外围(详见例1延长方式)；也可以位于截小面内部(详见例3延长方式)；具体选取哪条，取决于延长后，交点是否易于标识 注②：具体选择哪种方式找截点，取决于实际操作中哪种方式下的交点更易标识 step.2连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 step.3围截面：将各截线首尾相连，围成截面 二、典例分析 例1如图，正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F、G分别在AB、BC、DD上，求作过E、F、G三点的截面. 例2 P、Q、R三点分别在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1和DD1上，试画出过P、Q、R三点的截面. 例3试画出过正三棱柱ABC-A1B1C1的底边BC及两底中心连线OO1中点的截面. 例4过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、CB的中点E、F作一个截面，使截面与底面所成的角为45°.则此截的形状为( ) A.三角形或五边形 B.三角形或六边形 C.六边形 D.三角形或四边形 例5已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B、C两点)，点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为 . 二轮专题5：几何体的截面问题(答案) 例1[解析]具体步骤文字说明 step1.延长EF与DC延长线交于虚截点1； step2.连接G与虚截点1交棱C1C于实截点1； 说明：因为点G及虚截点1都既在截面上又同在多面体表面D1A1B1C1上，所以G与虚截点1的连线即为截线，截线与侧棱CC1的交点即为实截点1 step3.延长EF与DA的延长线交于虚截点2 step4.连接G与虚截点2交棱A1A于实截点2 step5.顺次连接点G-实截点1-点F-点E-实截点2-点G围成截面 例2[解析] 具体步骤文字说明 step1.延长QP与CB延长线交于虚截点1； step2.延长QR与CD延长线交于虚截点2； step3.连接虚截点1与虚截点2交棱AD、棱AB于实截点2、实截点1； step4.顺次连接点Q-点R-实截点2-实截点1-点P-点Q围成截面. 例3[解析]具体步骤文字说明 step1.延长DM交A1D1于实截点1； 说明：此处延长DM?因为延长后的交点(截点)易于发现；反观延长BM，截点就不易于发现 step2.过实截点1作棱BC的平行线，分别交棱A1B1，A1C1于实截点2、实截点3； 说明：step2通过方式2找截点的原因：通过方式2，交点(截点)更易标识 step3.顺次连接实截点2-B-C-实截点3-实截点2围成截面 例4[答案]B [解析]设点K为D1B1与截面的一个交点，正方体的棱长为2 易知∠D1HD为二面角D1-EF-D的平面角 同时tan∠D1HD=<1=tan45°，所以∠D1HD<45° ① 又∠D1HD为二面角O1-EF-O的平面角， 同时tan∠O1HO=>1=tan45°，所以∠O1HO>45° ② 由①②知，当K点在D1—O1之间时，存在一个截面使得截面与底面所成的角为45° 同时，由②及对称性易知，二面角B1-EF-B的平面角∠B1HB>45° ③ 所以当K点在O1B1的延长线上时，存在一个截面使得截面与底面所成的角为45°基于上述分析，我们有如下作图过程： 情况一：如右图，当K点在D1—O