福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试题

龙岩市2022～2023学年第二学期期末高二教学质量检查 数学参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D C B C D B 第7题简析：,令，所以，所以，又，所以，又，所以，所以. 第8题简析：因为，构造，易得：，所以，又易得，令，得，所以，即，所以，综上. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 9 10 11 12 答案 AB CD ABD BCD 第11题简析：作出函数的图象，由图象可知A正确，B正确 对于C选项或，由函数的图象可知或，故C错误. 对于D选项或，由函数的图象可知 第12题简析：由题意知点在上动点，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，所以，所以A错误； 易得平面，所以，所以B正确； 当线段取最小值时，是的中点，为圆弧的中点，所以，所以，所以，所以C正确； 当时，与重合，与垂直的平面，即与体对角线垂直的平面，显然平面，而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形，所以截面面积的最大值为，所以D正确. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 14． 15． 16． 第16题简析：法一：依题意：在上恒成立， 设， 令，，则在上单调递增，，，所以使， 当时，在单调递减；当时，在单调递增，，由得，设，则，在上单调递增，所以，即，故，所以 法二：，可证，当且仅当时取“”，令，即 当，即时，，此时不等式恒成立； 当，即时，设，在上单调递增，，，使， 即，与恒成立矛盾，故舍去，综上，. 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本题满分10分） 解：（1）因为所以. 所以， 1分 所以， 2分 又， 所以曲线在点处的切线方程为：. 4分 （2）由函数在处取得极值可知： ，即，解得：. 6分 此时，，, 当时，， 当时，, 所以符合题意. 综上，的单调递增区间为，的单调递减区间为. 10分 18．（本题满分12分） 证明：（1）证明：如图所示，取中点，连接. …………1分 分别为的中点， ，且. 又由已知，可得且， 四边形为平行四边形， . ……3分 又平面,平面. 平面. ………………4分 （2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，………………5分 则． 由为棱的中点，得． 向量，． 设为平面的法向量， 则 不妨令，得，即为平面的一个法向量．……8分 又向量， 设直线与平面所成角为， .……11分 直线与平面所成角的正弦值为.……12分 19．（本题满分12分） 解：（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为： , 2分 又由，， . 5分 （2）由题意，抽取2人进入复赛的人数， 6分 . 的概率分布列为 0 1 2 10分 的数学期望为. 12分 20．（本题满分12分） 解：（1）如图，在直三棱柱中， ，∴矩形为正方形， 又E是的中点， . 1分 又平面平面， 平面平面， 且平面. 平面. 3分 又平面, . 4分 （2）在直三棱柱中，平面. 又平面, . 又, 平面且相交, 平面. 所以两两垂直. 所以如图以为原点，建立空间直角坐标系. 6分 的面积为, . 则, . 设， . 又, 设平面的法向量， 则， 不妨取，则， ∴， 8分 由（1）平面，∴平面的一个法向量, 9分 11分 解得. 又由图可知当为的中点时，二面角为钝二面角符合题意， 综上，在上存在一点D，此时， 使得二面角的大小为. 12分 21．（本题满分12分） 解：（1）（ⅰ）根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断适合作为人次关于活动推出天数的回归方程类型. 2分 （ⅱ）由（ⅰ）知，，两边同时取对数得， 令 则由题意知， 又， 所以, 所以，所以， 4分 ，, 则关于的回归方程为. 6分 （2）依题意服从超几何分布， 当时，， 当时，，记, 8分 则, 由解得, 10分 所以当时, 当时, 当时, 故当或时最大，所以的估计值为. …12分 22.（本题满分12分） 解：（1）,