重难点专项突破09相似三角形中的“手拉手”旋转模型-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

重难点专项突破09相似三角形中的“手拉手”旋转模型 【知识梳理】 “手拉手”旋转型 模型展示： 如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Com] 【考点剖析】 例1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证： (1)△ABD∽△CBE； (2)△ABC∽△DBE. 例2.把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D 与三角板ABC的斜边中点O重合，其中，，AB = DE = 4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB 相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q． （1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证∽，则 此时______； （2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为．其 中，问的值是否改变？请说明理由． F A B(Q) C D(O) E P P A B C D(O) A B C D(O) Q P Q E F E F 图1 图2 图3 例3.如图，已知和是两个全等的等腰直角三角形，且 ，的顶点E与的斜边BC的中点重合．将绕 点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于 点Q． （1）如图1，当点Q在线段AC上，且AP = AQ时，求证：≌； （2）如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：∽；并求当BP = a， 时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）． A B C D E F A B C D E F P P Q 图1 图2 Q 例4.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图1，当α＝60°时，的值是　　 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 ． （2）类比探究 如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题 当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 【过关检测】 一．选择题（共4小题） 1．（2020秋•霍邱县期末）如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE，其中一定成立的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023•合肥一模）已知：△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE＝CD，∠BAD＝∠ACE．则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2022•瑶海区三模）如图，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，连接CC'，将CC′沿C′B′方向平移至EB'，连接BE，若CC'＝，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D．2 4．（2021秋•凤阳县期末）如图，点P在△ABC的边AC上，若要判定△ABP∽△ACB，则下列添加的条件不正确的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝ 二．填空题（共2小题） 5．（2020秋•蚌埠月考）如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论①BC＝DE；②∠ABC＝∠ADE；③∠BAD＝∠CAE；④BD＝CE，其中一定成立的有 　 　． 6．（2022•安徽模拟）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC和CDE如图放置（其中∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC，CE＝DE）．CD、CE分别与AB边相交于M、N两点．请完成下列探究： （1）若AC＝2，则AN•BM的值为 　 　； （2）过M作MF⊥AC于F，若＝，则的值为 　 　． 三．解答题（共6小题） 7．（2021•瑶海区校级开学）已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：△DAE∽△BAC． 8．如图，已知：，求证：AB•CE＝AC•BD． 9．（2017秋•禹会区校级期中）如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE． 10．（2023•亳州二模）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE． （1）①求证：△ABC∽△ADE； ②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由； （2）如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求证：CE⊥BC． 11．（2021秋•当涂县校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，