重难点突破03 三角形中的范围与最值问题（十七大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破03 三角形中的范围与最值问题 目录 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． 题型一：周长问题 例1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若为锐角三角形，，求周长范围． 例2．（2023·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，，， （1）求角A； （2）求△ABC的周长l的范围. 例3．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 在锐角中，内角、、，的对边分别是、、，且______ (1)求角的大小； (2)若，求周长的范围． 变式1．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的范围. 变式2．（2023·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，． (1)求角A的大小； (2)求周长的范围． 题型二：面积问题 例4．（2023·全国·模拟预测）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，． (1)求角A的值； (2)若，求面积的范围． 例5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形内种植了两种花卉，其中区域内种植兰花，区域内种植丁香花，对角线BD是一条观赏小道．测量可知边界，， ． （1）求观赏小道BD的长及种植区域的面积； （2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域（四边形）的面积最大，并求出这个面积的最大值． 例6．（2023·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值（或最大值）．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式：，且______，求△ABC的面积的值（或最大值）． 变式3．（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地，其中，，．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖，其中，都在边上（，均不与重合，在，之间），且． (1)若在距离点处，求点，之间的距离； (2)设， ①求出的面积关于的表达式； ②为节省投入资金，三角形人工湖的面积要尽可能小，试确定的值，使得面积最小，并求出这个最小面积． 变式4．（2023·全国·高三专题练习）在中，． （1）D为线段上一点，且，求长度； （2）若为锐角三角形，求面积的范围． 变式5．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）若，，求的大小； （2）若，且是钝角，求面积的大小范围. 题型三：长度问题 例7．（2023·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知锐角内角的对边分别为.若. (1)求； (2)若，求的范围. 例8．（2023·福建莆田·高三校考期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，， (1)求角B﹔ (2)求的范围． 例9．（2023·重庆江北·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，当仅有一解时，写出的范围，并求的取值范围. 变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；，． （I）求角A的值； （Ⅱ）求的范围． 变式7．（2023·全国·高三专题练习）在中，分别是角的对边. （1）求角的值； （2）若，且为锐角三角形，求的范围. 变式8．（2023·山西运城·统考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. （1）求证：； （2）若是锐角三角形，，求的范围. 变式9．（2023·安徽亳州·高三统考期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，