由递推关系证明数列讲义-2024届高考数学一轮复习

由递推关系证明数列 一、由递推关系证明等差数列 等差数列的定义 典例1．已知数列中，，. (1)证明:数列是等差数列. (2)求数列的通项公式. 练习已知数列满足且 （1）求证：数列为等差数列 （2）求数列的通项公式 典例2.已知数列满足，，数列 （1）求证：等差数列； （2）求数列的通项公式. 练习数列满足： ． （1）令，求证：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式． 典例3．数列满足. (1)求证：数列是等差数列. (2)若，求数列的通项公式 练习．已知数列中，，，设． (1)求证：数列是等差数列； (2)求的通项公式． 二、由递推关系证明等比数列 等比数列的定义 典例1已知数列，； （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； 练习已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求出通项公式． 典例2数列中，， （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式. 练习在数列中，，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式． 典例3已知数列满足， （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 练习．已知数列满足，且点在函数的图象上，求证：是等比数列，并求的通项公式： 巩固练习 1.已知数列中，， ，数列满足. （1）求证：数列为等差数列. （2）求数列的通项公式. 2.已知列满足，且，． （1）设，证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； 3．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*). (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 4．设为数列的前n项和，且 (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 5.已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 6.已知数列，且，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式. 7.已知数列满足，. (1)求证：是等比数列. (2)求. 8．已知数列满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求的通项公式. 由递推关系证明数列 一、由递推关系证明等差数列 等差数列的定义 典例1．已知数列中，，. (1)证明:数列是等差数列. (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2)=. 【分析】(1)根据已知条件，证明－为常数即可； (2)根据(1)的结论和等差数列通项公式即可求的通项公式. (1) 由已知得，＝2，－＝＝＝2， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列. (2) 由(1)知，＝＋2(n－1)＝2n，∴＝. 练习已知数列满足且 （1）求证：数列为等差数列 （2）求数列的通项公式 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）将条件取倒数可得，从而得证； （2）利用等差数列先求得，从而得解. 【详解】（1）由 ，得，所以， 所以数列为等差数列，首项为1，公差为2. （2）由（1）可得，所以 【点睛】本题主要考查了利用递推关系求证等差数列，采用了取倒数的方法，属于基础题. 典例2.已知数列满足，，数列 （1）求证：等差数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据题意，计算，由等差数列的定义，即可证明结论成立； （2）先由（1）求出，即可得出. 【详解】（1）由题可，且， 又因为 所以数列是以为首项，为公差的等差数列 （2）由（1）可知， 故. 【点睛】本题主要考查证明数列是等差数列，以及求数列的通项公式，属于基础题型. 练习数列满足： ． （1）令，求证：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）把已知数列递推式两边同时除以n（n+1），可得数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列； （2）由（1）结合等差数列通项公式即可得到结果. 【详解】（1）由已知可得， 即， 所以是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知， 所以. 【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差数列的定义及通项公式，属于基础题. 典例3．数列满足. (1)求证：数列是等差数列. (2)若，求数列的通项公式 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推关系可证得，由此可证得结论； （2）由等差数列通项公式可求得，由此可得. (1) 当时，， 数列是以为公差的等差数列. (2) ，数列首项为，公差为，， 则，. 练习．已知数列中，，，设． (1)求证：数列是等差数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意化简得到，结合等差数列的定义，即可求解； （2）由（1）得到，即可求得的通项公式． (1) 证明：因为，所以． 则， 所以是首项为，公差为的等差数列． (2) 解：由知，所以，解得， 所以的通项公式为. 二