重难点专项突破06相似三角形中的“8”字模型（3种题）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

重难点专项突破06相似三角形中的“8”字模型（3种题） 【题型细目表】 题型一：8字-平行型 （1）直接利用“8”字型解题 （2）添加辅助线构造“8”字模型解题 题型二：8字-不平行型 【知识梳理】 8字_平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字_不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 【考点剖析】 题型一：8字-平行型 （1）直接利用“8”字型解题 例1.如图，在平行四边形中，点在边上，若，则 ． 例2.如图，为对角线上任意一点．求证：． 例3.如图，在平行四边形中，的延长线上有一点，交于点，交 于点． 求证：． 例4.如图，点在线段上，和都是等边三角形． 求证：（1）； （2）． 例5.如图，已知．，，求的长．（用、的代数式表示）． 例6.如图，为平行四边形的对角线上一点，，的延长线交 的延长线于点，交于点，求的值． 例7.如图，，，，求的值． 例8.过的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E．求证： ． A B C D E F 例9.如图，AD是的内角平分线．求证：． A B C D 题型二：8字-不平行型 例10.如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（　　） A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC 【过关检测】 一．选择题（共4小题） 1．（2023•包河区二模）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2021秋•亳州期末）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形成立的有（　　） ①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．（2022•砀山县模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，E为AB的中点，CE交BD于点F，且∠ADB＝∠BCE，则BF的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2021秋•安徽月考）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　） A．16 B．17 C．24 D．25 二．填空题（共8小题） 5．（2022•宣州区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为　 　． 6．（2022秋•安徽期中）如图，BD是△ABC的中线，点F在BD上，延长AF交BC于点E． （1）若点E为BC中点，则＝　 　． （2）若BF＝3DF，则＝　 　． 7．（2021秋•舒城县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，则＝　 　． 8．（2023•瑶海区二模）Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，点F为BC中点，∠CBE＝∠CAF，BC＝2． （1）写出一对相似三角形 　 　； （2）AC的长为 　 　． 9．（2022秋•无为市期中）如图，已知矩形ABCD对角线AC和BD相交于点O，点E是边AB上一动点，CE与BD相 交于点F，连结OE． （1）若点E为AB的中点，则＝　 　； （2）若点F为OB的中点，则＝　 　． 10．（2020•大通区模拟）如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA＝3：1，BC＝10，则AE的长为　 　． 11．（2022•庐阳区二模）已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，且∠BAD＝90°，连接AC、BD交于点O．①若AB＝BC，则＝　 　；②若AB＝AC，则＝　 　． 12．（2023•庐阳区一模）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF于M．若E为AB中点，则＝　 　；若∠CMF＝60°，则＝　 　． 三．解答题（共6小题） 13．（2022•芜湖一模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如