2.1 等式性质与不等式性质-【初升高暑假衔接】2023-2024学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第二章《一元二次函数、方程和不等式》 2.1　等式性质与不等式性质 【知识梳理】 知识点一　基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二　重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三　等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【基础自测】 1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M＝N C．M<N D．与x有关 2．若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3. 则不正确的不等式的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．< B．a2>b2 C．> D．a|c|>b|c| 4．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简) 5．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是________． 【例题详解】 一、用不等式(组)表示不等关系 例1　(1)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（    ） A． B． C． D． (2)用不等式表示图中两个函数之间的关系为______． 跟踪训练1　(1)下列说法正确的是（ ） A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x＜2000” B．若小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮表示为“x＞y” C．某变量x至少是a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≥a” (2)一个盒子中红、白、黑三种球分别为个、个、个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为，则用不等式（组）将题中的不等关系表示为________． 二、作差法比较大小 例2　(1)已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”） （2）已知，求证：； （3）已知，且，比较与的大小． 跟踪训练2　已知，试比较与的值的大小． 三、作商法比较大小 例3　(1)设，，则（    ）． A． B． C． D． (2)若，求证：． 跟踪训练3 如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ 四、利用不等式的性质判断或证明 例4 (1)若，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 (2)利用不等式的性质证明下列不等式： (i)若，，则； (ii)若，，则． 跟踪训练4 已知为三角形的三边长，求证： (1)； (2). 五、利用性质比较大小 例5　(1)（多选）实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． (2)（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 （多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．，则 D．若，则 六、利用不等式的性质求范围 例6　(1)已知，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． (2)已知且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练6　已知实数、满足，，则的取值范围为______． 【课堂巩固】 1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．设，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 3