2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【初升高暑假衔接】2023-2024学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 【知识梳理】 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点四 解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； ②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； ③有根求根； ④根据图象写出不等式的解集. 知识点五 解分式不等式 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0； (2)≤0⇔ (3)≥a⇔≥0. 知识点六 一元二次不等式恒成立问题 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max； k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 【基础自测】 1．不等式的解集是（       ） A．全体实数 B．空集 C．正实数 D．负实数 2．已知全集，集合，则（       ） A． B． C． D． 3．若不等式的解集是，则的解集为（       ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为R，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5．不等式的解集是___________. 【例题详解】 题型一、解不含参数的一元二次不等式 例1　解下列不等式： (1) (2) (3) (4)； (5). (6)； (7) (8) 跟踪训练1　解下列不等式． (1)； (2)． (3)； (4)； (5). (6) 题型二、解含有参数的一元二次不等式 例2　(1)解关于的不等式． (2)求关于的不等式的解集. 跟踪训练2　(1)求不等式的解集. (2)解关于的不等式. 题型三、由一元二次不等式的解确定参数 例3　(1)若不等式的解集为，则值是（    ） A． B． C． D． (2)已知关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为______. 跟踪训练3 (1)若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． (2)已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______. 题型四、一元二次方程根的分布问题 例4 (1)若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． (2)已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 (1)关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． (2)已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为_______． (3)设命题：方程有两个不相等的正根；命题：方程无实根．若与中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 题型五、解分式不等式 例5　解关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 跟踪训练5　(1)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． (2)（多选）若“”是“”充分不必要条件，则实数a的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 (3)不等式的解集为______. (4)解下列不等式. (i)； (ii)； (iii) 题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 例6 (1)若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． (2)“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练6　(1)已知对于任意实数恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． (2)若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________. 题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 例7 (1)若1≤x