2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性，即实根个数，了解函数的零点与方程的根的关系；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义，借助二次函数的图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示.3.从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性． (见学生用书P41)　　　　　　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”) 一元二次不等式的概念 (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式．(　×　) (2)不等式x2≤a的解集为{x|－≤x≤}．(　×　) (3)不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是.(　√　) 三个“二次”的关系 (4) 若不等式ax2＋bx＋c<0 的解集为 ，则必有a>0 .(　√　) (5)二次函数y＝x2－x－6的零点为(－2，0)与(3，0).(　×　) (6)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　) (7)若函数y＝ax2＋2x－4的图象与x轴的一个交点是(1，0)，则方程ax2＋2x－4＝0的两个根是1和2.(　×　) (见学生用书P42)　　　　　　　 类型一　解一元二次不等式 例1求下列不等式的解集： (1)2x2－3x－2>0. (2)4x2－4x＋1>0. (3)－x2＋2x－3<0. (4)－3x2＋5x－2>0. 解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0，所以方程2x2－3x－2＝0有两个不相等的实根x1＝－，x2＝2.又二次函数y＝2x2－3x－2的图象开口向上，所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为(2x－1)2>0，所以原不等式的解集为. (3)不等式可化为x2－2x＋3>0.又方程x2－2x＋3＝0的Δ＝(－2)2－4×1×3＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数解，所以原不等式的解集为R. (4)不等式化为3x2－5x＋2<0，方程3x2－5x＋2＝0的Δ＝(－5)2－4×3×2＝1>0，则方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1.又二次函数y＝3x2－5x＋2的图象开口向上，所以不等式－3x2＋5x－2>0的解集为. 活学活用 (1)(x－3)(x－7)<0. (2)x(1－x)≥x(2x－3)＋1. 解：(1)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3<x<7}． (2)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化为3x2－4x＋1≤0.因为方程3x2－4x＋1＝0的两个根是，1，函数y＝3x2－4x＋1的图象开口向上，所以不等式的解集是. [题后感悟] 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根．(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．根据图象写出不等式的解集． 类型二　解含参数的一元二次不等式 例2 2024·缙云中学高一解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R，a≥0). 解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为. 迁移探究 若把本例中的“a≥0”改为“a<0”，求该不等式的解集． 解：当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为. 活学活用 2024·武汉二中高一解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0. 解：Δ＝a2－16，下面分情况讨论： (1)当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根， 所以原不等式的解集为R. (2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4， 则原不等式等价于(x－1)2>0，故x≠1； 若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2>0，故x≠－1. (3)当Δ>0，即a>4或a<－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋). 此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0， ∴x<x1或x>x2. 综上，当－4<a<4时，原不等式的解集为R； 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a>4或a<－4时，原不等式的解集为 ； 当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}． [题后感悟] 在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 类型三　三个“二次”关系的应用 例3关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|－3<x<1}，求不等式bx2＋ax＋c<0的解集． 解：因为ax2＋bx＋c<0的解集是{x|－3<x<1}， 所以a>0，且－3，1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， ∴得b＝2a，c＝－3a， 则不等式bx2＋ax＋c<0可化为2ax2＋ax－3a<0. 又a>0，所以2x2＋x－3<0，解得－<x<1， 所以原不等式的解集是. 活学活用 [多选题]2024·苏州中学高一已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，下列说法中正确的是(　ABD　) A．a<0 B．a＋b＋c>0 C．不等式bx＋c>0的解集为 D．不等式cx2＋bx＋a<0的解集为 【解析】 因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，所以－3和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，且a<0，故A正确； 所以－3＋2＝－，－3×2＝，所以b＝a，c＝－6a.因为a＋b＋c＝a＋a－6a＝－4a.又a<0，所以a＋b＋c>0，故B正确； 不等式bx＋c>0可化为ax－6a>0，因为a<0，所以x<6，故C错误； 不等式cx2＋bx＋a<0可化为－6ax2＋ax＋a<0.又a<0，所以6x2－x－1<0，即<0，解得－<x<，故D正确． [题后感悟] 应用三个“二次”之间的关系解题的思想 一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换． 当 堂 自 评 1．不等式x2－4x<0的解集是(　A　) 　　　　　　　　　　　　　　 A． B． C． D． 2．不等式≤0的解集是(　A　) A． B． C． D． 3．2024·慈溪中学高一若0<t<1，则不等式x2－x＋1<0的解集是(　D　) A． B． C． D． 【解析】 由x2－x＋1＝(x－t)＝0，可得x1＝t或x2＝， ∵0<t<1，∴>1>t， 则不等式x2－x＋1<0的解集是. 4．不等式ax2－x＋2≥0的解集为(　A　) A． B． C． D． 【解析】 原不等式可以转化为≥0， 当a<0时，可知(x－1)≤0，对应的方程的两根为1，， 根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为. 5．已知关于x的不等式ax2＋bx>c的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为____． 【解析】 由已知，不等式ax2＋x＋2c>0的解集为， 故a<0，且x1＝1，x2＝3为方程ax2＋x＋2c＝0的两根， 所以解得故不等式ax2＋bx＋c<0为ax2－ax＋a<0， 即x2－x＋>0，解得x<1或x>. 温馨提示：课后请完成高效作业15 学科网（北京）股份有限公司 $$