2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式

第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式

 1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性，即实根个数，了解函数的零点与方程的根的关系；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义，借助二次函数的图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示.3.从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性．

(见学生用书P41)　　　　　　　

 

 

判断正误(请在括号中打“√”或“×”)

一元二次不等式的概念

 (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式．(　×　)

(2)不等式x2≤a的解集为{x|－≤x≤}．(　×　)

(3)不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是.(　√　)

三个“二次”的关系

(4) 若不等式ax2＋bx＋c<0 的解集为 ，则必有a>0 .(　√　)

(5)二次函数y＝x2－x－6的零点为(－2，0)与(3，0).(　×　)

(6)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)

(7)若函数y＝ax2＋2x－4的图象与x轴的一个交点是(1，0)，则方程ax2＋2x－4＝0的两个根是1和2.(　×　)

(见学生用书P42)　　　　　　　

类型一　解一元二次不等式

例1求下列不等式的解集：

(1)2x2－3x－2>0.

(2)4x2－4x＋1>0.

(3)－x2＋2x－3<0.

(4)－3x2＋5x－2>0.

解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0，所以方程2x2－3x－2＝0有两个不相等的实根x1＝－，x2＝2.又二次函数y＝2x2－3x－2的图象开口向上，所以原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为(2x－1)2>0，所以原不等式的解集为.

(3)不等式可化为x2－2x＋3>0.又方程x2－2x＋3＝0的Δ＝(－2)2－4×1×3＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数解，所以原不等式的解集为R.

(4)不等式化为3x2－5x＋2<0，方程3x2－5x＋2＝0的Δ＝(－5)2－4×3×2＝1>0，则方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1.又二次函数y＝3x2－5x＋2的图象开口向上，所以不等式－3x2＋5x－2>0的解集为.

活学活用

(1)(x－3)(x－7)<0.

(2)x(1－x)≥x(2x－3)＋1.

解：(1)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3<x<7}．

(2)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化为3x2－4x＋1≤0.因为方程3x2－4x＋1＝0的两个根是，1，函数y＝3x2－4x＋1的图象开口向上，所以不等式的解集是.

[题后感悟]

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根．(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．根据图象写出不等式的解集．

类型二　解含参数的一元二次不等式

例2 2024·缙云中学高一解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R，a≥0).

解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.

①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.

②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.

综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；

当a>0时，不等式的解集为.

迁移探究

若把本例中的“a≥0”改为“a<0”，求该不等式的解集．