专题03 认识无理数、估算-【暑假精品课程】2023年新八年级数学暑假衔接（北师大版，成都专用）

专题03 认识无理数、估算 【知识点精讲】 1.有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.估算：怎样估算无理数 (①误差小于1)？(②误差小于0.1)？ 误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值之间的差的绝对值小于0.1. 估算无理数的方法是：（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。 （3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236 3.用计算器开方 【基础题型梳理】 题型1.无理数的概念 例1．下列实数，，，，中，无理数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答． 【详解】解：， 所以在实数，，，，中，无理数有，，共个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键． 例2．下列说法不正确的是（ ） A．无理数是无限不循环小数 B．无限小数是无理数 C．任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数 D．含有的数是无理数 【答案】B 【分析】根据无理数的定义逐个判断，即可进行解答． 【详解】解：无限不循环小数是无理数，故B不正确，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握：无限不循环小数是无理数． 例3．是一个无理数，这个数的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，再确定答案即可． 【详解】因为， 所以． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求无理数的绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 例4．请写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于3：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由于无理数就是无限不循环小数，只要找一个绝对值小于3的无理数即可求解． 【详解】解：∵一个无理数，这个无理数的绝对值小于3， ∴这个无理数可以是：． 故答案是：（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：含的数；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，这样规律的数． 例5．把下列各数按有理数、无理数、正实数、负实数分别填入相应的集合内： 0，，，4，，，，，，，，． 有理数集合： 无理数集合： 正实数集合： 负实数集合： 【答案】0，，4，，，，，， ， ， ，4，，，，， ，，， 【分析】根据有理数与无理数的定义以及正实数与负实数的定义进行分类即可， 【详解】解：有理数集合：0，，4，，，，，，； 无理数集合：， ，； 正实数集合：，4，，，，，； 负实数集合：，，，． 【点睛】本题主要考查的是有理数与无理数的定义以及正实数与负实数的定义等知识内容，注意0既不是正实数也不是负实数． 题型2.估算 例1．估计12的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】首先根据，即可得出12的算术平方根介于3和4之间． 【详解】∵， ∴． ∴估计12的算术平方根介于3和4之间． 故选C． 【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，得出接近的有理数是解题的关键． 例2．估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算即可得到答案． 【详解】解：， ， 估计的值在6和7之间， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 例3．估算的值在（  ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】先估算出无理数的值，再进行辨别、求解． 【详解】解：， ， ， 故选． 【点睛】此题考查了无理数的估算能力，解题的关键是能准确理解并运用平方根知识进行求解． 例4．请写出与间的一个整数________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】估算出与的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴与间的一