上海市格致中学2022-2023学年高二下学期期末数学试卷

格致中学2022学年第二学期高二年级数学期末 2023.6 一、填空题:(本题共有12个小题,每小题3分,满分36分) 1.已知直线l的一个法向量是,则直线l的倾斜角的大小为_. 2.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为_. 3.已知随机变量X服从二项分布,且,则_. 4.已知,双曲线的两条渐近线的夹角大小为,则_. 5.已知是抛物线上一点,F为该抛物线的焦点,,则_. 6.如图,设E是正方体的棱的中点,在棱上任取一点P,在线段上任取一点Q,则异面直线PQ与BD所成角的大小为_. 7.三颗骰子各掷一次,观察掷得的点数.记事件A为“三个点数都不相同”,事件B为“至少出现一个2点”,则_. 8.在平行六面体中,已知,,则该平行六面体的对角线的长度为_. 9.设,若关于x的方程有3个不同的实根,则的取值范围是_. 10.设椭圆的右焦点为,点在椭圆外,P、Q在椭圆上,且P是线段AQ的中点.若直线PQ,PF的斜率之积为,则椭圆的离心率为_. 11.已知对于任意,不等式都成立(e是自然对数的底数),则的最小值是_. 12.数学中有许多寓意美好的曲线,曲线被称为“四叶玫瑰线”(如图).给出下列四个结论: ①曲线C关于直线对称; ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1; ③存在一个以原点为中心,边长为的正方形,使曲线C在此正方形区域内(含边界). 其中,所有正确结论的序号是_. 二、选择题:(本题共有4个小题,每小题4分,满分16分) 13.已知事件A、B是独立事件,、分别是A、B的对立事件,那么下列等式中不一定成立的是( ) A. B. C. D. 14.已知函数,其导函数记为,有以下四个命题:①若为偶函数,则为奇函数;②若为偶函数,则为奇函数;③若为周期函数,则也为周期函数;④若为周期函数,则也为周期函数. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 15.已知与是直线(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是( ) A.无论k、、如何,总是无解 B.无论k、、如何,总有唯一解; C.存在k、、,使之恰有两解 D.存在k、、,使之有无穷多解 16.如图,把一个长方形的硬纸片ABCD沿长边AB所在直线逆时针旋转45°得到第二个平面ABEF,再沿宽边AF所在直线逆时针旋转45°得到第三个平面AFGH,则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是( ) A. B. C. D. 三、解答题:(本题共有4大题,满分48分.解题时要有必要的解题步骤) 17.(本题满分10分,第(1)题5分,第(2)题5分) 如图,在三棱锥中,平面BCD,,,,E为垂足. (1)求证:平面ACD; (2)若F为AC中点,求四面体ABEF的体积. 18.(本题满分10分,第(1)题5分,第(2)题5分) 某市一健身连锁机构对去年来该机构健身的100名会员进行了统计,制作成如下两个统计图,图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图,图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图. 若将会员按年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类,将一个月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”,15次及以下的会员称为“健身爱好者”,且已知在“健身达人”中有是“年轻人”. (1)根据上图的数据,补全下方列联表,并依据显著性水平的独立性检验,分析一个人是“健身达人”与这个人为“年轻人”是否有关联? 年轻人 非年轻人 总计 健身达人 健身爱好者 总计 100 附:,,,与k的若干对应数值见下表: 0.25 0.05 0.005 1.323 3.841 7.879 (2)该连锁机构随机选取3名会员进行回访.设随机变量X表示选取的3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数,求X的分布及其期望. 19.(本题满分12分,第(1)题3分,第(2)题4分,第(3)题5分) 已知椭圆的离心率为,、为椭圆的左、右焦点,,P为椭圆上的动点. (1)求椭圆的标准方程; (2)当取最大值时,求的面积; (3)已知r为正常数,过动点P作圆的切线PQ、PR,记直线PQ、PR的斜率分别为、,是否存在r,使得为定值?若存在,求出r及的值;若不存在,请说明理由. 20.(本题满分16分,第(1)题4分,第(2)题5分,第(3)题7分) 已知定义域为的函数,其导函数为,满足对任意的都有. (1)若,求实数a的取值范围; (2)若存在,对任意,成立,试判断函数的零点个数,并说明理由; (3)若存在a、,使得,证明:对任意的实数、,都有. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11. 12.①② 11.已知对于任意,不等式都成立(e是自然对数的