上海市松江一中2022-2023学年高二下学期数学期末试卷

松江一中2022学年第二学期高二年级数学期末 2023.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．） 1．抛物线的焦点坐标是______． 2．函数的严格 增区间为______． 3．某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为______． 4．已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为______． 5．已知椭圆，、、、四个点中恰有三个点在椭圆C上，则椭圆C的方程是______． 6．某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示（单位：万元）： 广告费 4 2 3 5 销售额 49 26 39 54 根据上表建立线性回归方程中的为10，预测广告费为6万元时，销售额约为______万元． 7．播种用的一等品种子中混合2.0%的二等种子，1.5%的三等种子，1.0%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出优质产品的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则从这批种子中任选一颗长出优质产品的概率为______． 8．当时，函数取得最大值，则______． 9．直线l经过点，且与曲线相交于A，B两点，，则面积最大时，直线l的一般式方程是______． 10．函数在上不单调，则实数k的取值范围是______． 11．已知椭圆的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是______． 12．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ） A． B． C． D． 14．函数的图像如右图所示，则导函数的图像可能为（ ） A. B． C． D． 15．已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则下列说法：①若直线AB过点F，则的最小值为1；②若垂直C的准线于点，且，则四边形周长为③若，则直线AB恒过定点．其中正确命题的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．设直线，分别是函数图像上点，处的切线，与垂直相交于点P，且，分别与y轴相交于点A，B，则的面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分：第1小题满分7分，第2小题满分7分） 一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量X表示从该盒中取出的红球个数． （1）求随机变量X的分布； （2）求随机变量X的期望和方差． 18．（本题满分14分：第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知双曲线C：第一象限内的点P在C上，双曲线的左右两焦点分别记为，．已知，，O为坐标原点． （1）求双曲线C的离心率； （2）若的面积为2，求点P的坐标． 19．（本题满分14分：第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． （1）写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； （2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？（结果精确到1万元） 20．（本题满分16分：第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长为4，是椭圆上的一点，直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，直线l与椭圆交于不同的两点A，B，O为坐标原点，求面积的最大值； （3）设是直线l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义．用a、b、k、m表示，并利用与的大小关系，提出一个关于l与位置关系的真命题，给出命题的证明． 21．（本题满分18分：第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 若对任意的实数k、b，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”