上海市杨浦高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

杨高中学2022学年第二学期高一年级数学期末 2023.6 一、填空题（本大题满分40分）本大题共有10小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．直线的倾斜角的度数是______． 2．已知i为虚数单位，则复数的虚部为______． 3．已知i为虚数单位，，则z的辐角主值为______． 4．在中，，，，则______． 5．已知，，且、的夹角为，则______． 6．已知向量，，则向量在方向上的数量投影为______． 7．不论实数k取何值，直线恒过定点______． 8．已知直线，过点的直线m与直线l夹角为，则直线m的方程是______． 9．已知实数，，，满足，，，则的最大值是______． 10．已知向量，，，其中，，且，（其中）．设与的夹角为，若对于任意，，总有，则k的最小值为______． 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应使用2B铅笔填涂所选项的方框，选对得4分，否则一律得零分． 11．已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 12．已知，且，i为虚数单位，则的最大值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ） A． B． C． D． 14．在中，，，．P为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；②的最大值为；③的最小值为；④的最大值为8． 其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 15．（本题满分6分）本题共有2个小题，第1小题满分2分，第2小题满分4分． 已知直线，． （1）若，求实数a的值； （2）当时，求直线与之间的距离． 16．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分． 已知直线，． （1）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程． 17．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分． 已知关于x的一元二次方程． （1）若复数z是该方程的一个虚根，且，i为虚数单位，求m的值； （2）记方程的两根为和，若，求m的值． 18．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分． 如图，在中，，D为AB中点，P为CD上一点，且满足，的面积为． （1）求t的值； （2）求的最小值． 19．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分． 已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是O坐标原点． （1）已知，且、是一组“共轭线对”，求、的夹角； （2）已知点、点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（，B，C与P，Q，R均不重合），且直线，PQ是“共轭线对”，直线PQ，QR是“共轭线对”，直线RP，QR是“共轭线对”，求点P的坐标； （3）已知直线过定点Q，直线，是“共轭线对”，当实数m变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.或; 9.; 10.； 9．已知实数，，，满足，，，则的最大值是______． 【答案】 【解析】由，， 可设,且 可得在圆上, 所求最大值可看作是到直线的距离的和的最大值, 且可得在直线的下方, 取的中点,过点分别作直线的垂线,垂足分别为, 为梯形的中位线, , 到直线的距离为,,, 的最大值为. 10．已知向量，，，其中，，且，（其中）．设与的夹角为，若对于任意，，总有，则k的最小值为______． 【答案】 【解析】不妨设,则向量问题可转化为如下解三角形问题: 由 同时由余弦定理, 而实际上表示的是的延长线. 故,而,则与的夹角. 可知,随着的增大,也在增大,则在减小, 由题意,只需求所趋近的最大值和最小值即可. 第一种极限情况,当与重合时, 第二种极限情况,当位于的延长线无穷远处时,可看作与平行,根据两条平行直线同旁内角互补的性质, 由于恒成立,则,则的最小值为. 故答案为:. 二、选择题 11.C 12.B 13.A 14.A 13．设直线与关于直线对称，则直线的方程