上海市控江中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

控江中学2022学年第二学期高一年级数学期末 2023.6 一、填空题（本大题满分54分）本大概共有12题，1~6题每题4分，7~12题每题5分． 1．半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为______弧度． 2．函数的最小正周期是______． 3．向量的单位向量为______． 4．若角的终边过点，则______． 5．已知复数（其中i为虚数单位），则______． 6．已知直角坐标平面上两点、，若P满足，则点P的坐标为______． 7．在中，角A、B、C所对的边为a、b、c．若，，，则角______． 8．直线绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是_____． 9．已知函数的最大值为______． 10．直角三角形ABC中，，，，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则的最大值为______． 11．已知常数，若关于x的方程有且仅有一个实数解，则m的取值范围是______． 12．已知常数，集合，，若，则t的取值范围是______． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，每题有且仅有一个正确选项．考生应在答题纸的相应编号上，填上答案． 13．已知常数，直线，，则是的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ） A． B． C． 15．已知常数a，，且a，b不全为零，若直线与圆相交，则点与圆C的位置关系是（ ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．随a、b取值的变化而变化 16．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为的重心，则、、中正数的个数为n，则n的值的集合为（ ） A． B． C． D． 三、简答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必得步骤． 17．（本题共12分，第（1）题6分，第（2）题6分） 已知直线． （1）若直线，求直线l与直线的夹角． （2）若直线与直线l的距离等于1，求直线的一般式方程． 18．（本题共14分，第（1）题6分，第（2）题8分） 设常数，已知关于x的方程． （1）若，求该方程的复数根． （2）若方程的两个复数根为、，且，求p的值． 19．（本题共14分，第（1）题6分，第（2）题8分） 记． （1）求关于x的方程的解集． （2）求函数的单调减区间． 20．（本题共18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分） 如图，设ABCDEF是半径为1的圆O的内接正六边形，M是圆O上的动点． （1）求的最大值． （2）求证：为定值． （3）对于平面中的点P，存在实数x与y，使得，若点P是正六边形ABCDEF内的动点（包含边界），求的最小值． 21．（本题共20分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题10分） 设是一个关于复数z的表达式，若（其中，，，，i为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如：将点“f对应”到点． （1）若，点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标． （2）设常数k，，若直线，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“f对应”到点后，点Q仍在直线l上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由． （3）设常数a，，集合和，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素w，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 参考答案 一、填空题 1.1; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9. ; 10.7.5； 11. 12. 11．已知常数，若关于x的方程有且仅有一个实数解，则m的取值范围是______． 【答案】； 【解析】令，则，不难得到答案 12．已知常数，集合，，若，则t的取值范围是______． 【答案】 【解析】在复平面上是以为圆心，3为半径的圆，在复平面上是以为圆心，1为半径的圆，在复平面上是以为圆心，1为半径的圆 这样可以得到实数的取值范围 二、选择题 13. 14. 15. 16. 15．已知常数a，，且a，b不全为零，若直线与圆相交，则点与圆C的位置关系是（ ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．随a、b取值的变化而变化 【答案】 【解析】利用原点到直线距离小于1处理 16．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为的重心，则、、中正数的个数为